2.36 Exercício. Encontre os valores de a para os quais o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} a x+y+z=a \\\\ -x+a y+z=a \\\ x+y+a z=0 \end{array}\right.
a) não possui solução;
b) possui infinitas soluções e ache todas elas;
c) possui uma solução única e ache ela.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais são os dados que temos.
O sistema linear dado é
\left\{\begin{array}{l} a x+y+z=a \\[4pt] -x+a y+z=a \\[4pt] x+y+a z=0 \end{array}\right.
O enunciado pede:
(a) para quais valores de a o sistema não possui solução;
(b) para quais valores de a o sistema possui infinitas soluções e quais são todas essas soluções;
(c) para quais valores de a o sistema possui solução única e qual é essa solução.
Informações úteis extraídas do enunciado:
As incógnitas são x,y,z.
Os coeficientes dependem do parâmetro a.
O vetor dos termos constantes é \begin{pmatrix}a\\[2pt]a\\[2pt]0\end{pmatrix}.]
Passo 2
Estratégia e ferramentas que vou usar (explicação didática rápida):
Montar a matriz dos coeficientes A e o vetor coluna dos termos independentes b:A=\begin{pmatrix} a & 1 & 1\\[4pt] -1 & a & 1\\[4pt] 1 & 1 & a \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}a\\[2pt]a\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Um teorema prático: se \det(A)\neq 0 então A é invertível e o sistema tem solução única. Se \det(A)=0 então há duas possibilidades: ou o sistema é incompatível (nenhuma solução) ou tem infinitas soluções; para decidir isso compara-se o posto (rank) da matriz A com o posto da matriz aumentada (A|b) (teorema de Rouché–Capelli).
Vou calcular \det(A). Se for não nulo, encontrarei a solução única; se for zero, examinarei cada valor de a que zera o determinante e aplicarei operações elementares para verificar compatibilidade e, se houver soluções infinitas, descrevê-las parametricamente.]
Passo 3
Cálculo do determinante de A. Vou desenvolver por primeira linha (mostrando passo a passo):
Se a\neq -1,0,1 então \det(A)\neq 0 e o sistema terá solução única.
Se a\in\{-1,0,1\} então \det(A)=0 e preciso estudar cada caso separadamente (Rouché–Capelli).
Agora vou encontrar explicitamente a solução no caso \,a\neq -1,0,1 (caso de solução única). Faço operações algébricas com as equações originais para eliminar variáveis de forma sistemática (tudo mostrado passo a passo).
Agora examino os três casos singulares onde [\det(A)=0): a=1, a=-1 e a=0.
Caso a=1:
Substituo a=1 no sistema original:\begin{cases} x+y+z=1 \\[4pt] -x+y+z=1 \\[4pt] x+y+ z=0 \end{cases}Repare que as equações 1 e 3 têm os mesmos coeficientes (ambas são x+y+z\]), mas RHS diferentes (\[1 e 0). Faço a operação (\text{eq3})-(\text{eq1}):0=0-1 \quad\Rightarrow\quad 0=-1,que é uma contradição. Em termos de matriz aumentada, isso aparece como uma linha nula nos coeficientes com termo independente diferente de zero. Conclusão: para a=1 o sistema é incompatível — não possui solução.
Caso a=-1:
Substituo a=-1 no sistema:\begin{cases} -x+y+z=-1 \\[4pt] -x - y+ z=-1 \\[4pt] x+y - z=0 \end{cases}Faço operações lineares: (\text{eq2})-(\text{eq1})\] dá
\[0\cdot x +(-2)y +0\cdot z =0 \quad\Rightarrow\quad -2y=0.\]
E \[(\text{eq3})+(\text{eq1}) dá0\cdot x +2y +0\cdot z = -1 \quad\Rightarrow\quad 2y=-1.Essas duas equações para y são contraditórias (y=0 e y=-\tfrac{1}{2} simultaneamente), logo o sistema é incompatível: para a=-1 não há solução.
Caso a=0:
Substituo a=0 no sistema:\begin{cases} 0\cdot x + y + z = 0 \\[4pt] -x + 0\cdot y + z = 0 \\[4pt] x + y + 0\cdot z = 0 \end{cases}Ou seja:\begin{cases} y+z=0 \\[4pt] -x+z=0 \\[4pt] x+y=0 \end{cases}Da segunda equação -x+z=0\] segue \(x=z. Da primeira y+z=0 segue y=-z. Colocando x=z e y=-z na terceira x+y=0 obtemos z+(-z)=0 que é satisfeita. Portanto há infinitas soluções paramétricas: tomar parâmetro t=z, obtemos(x,y,z)=(t,-t,t),\qquad t\in\mathbb{R}.Logo, para a=0 o sistema homogêneo tem dimensão de espaço de soluções igual a 1: infinitas soluções (toda a reta gerada pelo vetor (1,-1,1)).]
Resposta
(a) a=-1 e a=1 (o sistema não possui solução para a=-1 e a=1).\n
(b) a=0; todas as soluções são \{(t,-t,t)\mid t\in\mathbb{R}\}.\n
(c) a\neq -1,0,1; a solução única é \displaystyle x=\frac{a}{a+1},\; y=\frac{a}{a-1},\; z=-\frac{2a}{a^{2}-1}.