2.40 Exercício. Considere a matriz
A=\left[\begin{array}{rrrrr} 1 & 3 & 1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 7 & 1 & 0 & 0 \\\\ -1 & -4 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 3 \end{array}\right]
a) Calcule a inversa de A.
b) Encontre a solução para o sistema A X=B, onde B^{t}=\left[\begin{array}{lllll}0 & -1 & 0 & 0 & 7\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado fornece a matriz A e pede duas coisas:
  • Calcular a inversa de A.
  • Resolver o sistema A X = B com B^{t}=\left[\begin{array}{lllll}0 & -1 & 0 & 0 & 7\end{array}\right].
A matriz A dada é
A=\left[\begin{array}{rrrrr} 1 & 3 & 1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 7 & 1 & 0 & 0 \\\\ -1 & -4 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 3 \end{array}\right].
O vetor coluna B (convertendo a transposta dada) é
B=\left[\begin{array}{r} 0\\\\ -1\\\\ 0\\\\ 0\\\\ 7 \end{array}\right].
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A matriz A tem um bloco 3\times3 no canto superior esquerdo e um bloco 2\times2 no canto inferior direito, com zeros cruzados entre esses blocos.
  • O enunciado pede (a) \,A^{-1}\, e (b) a solução X do sistema A X=B.

Passo 2

Observação sobre a estrutura de A e estratégia (explicação didática).
  • Quando uma matriz é blocada em forma diagonal, ou seja,
A=\begin{pmatrix}M & 0\\[4pt]0 & N\end{pmatrix},
onde M é 3\times3 e N é 2\times2, então a inversa (se M e N forem inversíveis) é
A^{-1}=\begin{pmatrix}M^{-1} & 0\\[4pt]0 & N^{-1}\end{pmatrix}.
  • Isso é fácil de ver: multiplicando a matriz blocada pela blocada com M^{-1},N^{-1} dá a identidade por blocos.
  • Portanto vou inverter separadamente o bloco M (o 3\times3 superior esquerdo) e o bloco N (o 2\times2 inferior direito) e depois montar A^{-1}.
Identificamos os blocos:
M=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 3 & 1\\\\ 2 & 7 & 1\\\\ -1 & -4 & 1 \end{array}\right],\qquad N=\left[\begin{array}{rr} 1 & 2\\[4pt] 2 & 3 \end{array}\right].]

Passo 3

Inverso do bloco N ( 2\times2) — recordando a fórmula.
  • Para uma matriz 2\times2 \displaystyle \left[\begin{array}{rr}a&b\\\ c&d\end{array}\right] a inversa (quando ad-bc\neq0) é
\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{rr}d & -b\\\\ -c & a\end{array}\right].
  • Aplicando a N com a=1,b=2,c=2,d=3 temos o determinante
\det(N)=1\cdot3-2\cdot2=3-4=-1.
  • Logo
N^{-1}=\frac{1}{-1}\left[\begin{array}{rr}3 & -2\\[4pt]-2 & 1\end{array}\right] =\left[\begin{array}{rr}-3 & 2\\[4pt]2 & -1\end{array}\right].]

Passo 4

Como encontrar M^{-1} ( 3\times3) de forma prática e didática.
  • Um método direto e muito prático em prova: para achar M^{-1} resolvemos três sistemas M x^{(i)}=e_i, onde e_i são as colunas da identidade. Cada solução x^{(i)} é a i-ésima coluna de M^{-1}.
  • Primeiro verifique o determinante (saber que é invertível). Usando desenvolvimento por co-fatores:
\det(M)=1\cdot\det\!\left[\begin{array}{rr}7&1\\[2pt]-4&1\end{array}\right] -3\cdot\det\!\left[\begin{array}{rr}2&1\\[2pt]-1&1\end{array}\right] +1\cdot\det\!\left[\begin{array}{rr}2&7\\[2pt]-1&-4\end{array}\right].
Calcule cada menor:
\det\!\left[\begin{array}{rr}7&1\\[2pt]-4&1\end{array}\right]=7\cdot1-1\cdot(-4)=7+4=11,
\det\!\left[\begin{array}{rr}2&1\\[2pt]-1&1\end{array}\right]=2\cdot1-1\cdot(-1)=2+1=3,
\det\!\left[\begin{array}{rr}2&7\\[2pt]-1&-4\end{array}\right]=2\cdot(-4)-7\cdot(-1)=-8+7=-1.
Portanto
\det(M)=1\cdot11-3\cdot3+1\cdot(-1)=11-9-1=1.
  • Como \det(M)=1\neq0, M é invertível e o método acima é válido. Além disso o determinante sendo 1 indica que M^{-1} terá entradas inteiras quando M tem entradas inteiras (muito conveniente).]

Passo 5

Encontrar a primeira coluna de M^{-1}\): resolver \(M x = e_1\). Escreve-se o sistema (componentes): \[\begin{cases} x_1+3x_2+x_3=1,\\[4pt] 2x_1+7x_2+x_3=0,\\[4pt] - x_1-4x_2+x_3=0. \end{cases}
Fazendo combinações para simplificar:
  • Subtrair a primeira equação da segunda: x_1+4x_2=-1.\] (Eq. A) - Somar a primeira com a terceira: \(-x_2+2x_3=1. (Eq. B) Então x_2=2x_3-1.
    Substituindo em (A):
x_1+4(2x_3-1)=-1 \quad\Rightarrow\quad x_1+8x_3=3\quad\Rightarrow\quad x_1=3-8x_3.
Agora colocar essas expressões na primeira equação:
(3-8x_3)+3(2x_3-1)+x_3=1.
Calcule:
3-8x_3+6x_3-3+x_3=1 \quad\Rightarrow\quad (-8+6+1)x_3=1 \quad\Rightarrow\quad -x_3=1,
logo x_3=-1. Então x_2=2(-1)-1=-3 e x_1=3-8(-1)=11.
Portanto a primeira coluna de M^{-1} é
x^{(1)}=\left[\begin{array}{r}11\\[2pt]-3\\[2pt]-1\end{array}\right].]

Passo 6

Encontrar a segunda coluna de M^{-1}\): resolver \(M x = e_2\). Sistema: \[\begin{cases} x_1+3x_2+x_3=0,\\[4pt] 2x_1+7x_2+x_3=1,\\[4pt] - x_1-4x_2+x_3=0. \end{cases}
Novas combinações:
  • Subtrair a primeira da segunda: x_1+4x_2=1.\] (Eq. C) - Somar a primeira com a terceira: \(-x_2+2x_3=0. (Eq. D) Então x_2=2x_3.
    Substituindo em (C):
x_1+4(2x_3)=1\quad\Rightarrow\quad x_1+8x_3=1\quad\Rightarrow\quad x_1=1-8x_3.
Inserindo na primeira equação:
(1-8x_3)+3(2x_3)+x_3=0 \quad\Rightarrow\quad 1-8x_3+6x_3+x_3=0 \quad\Rightarrow\quad 1-x_3=0,
logo x_3=1. Então x_2=2 e x_1=1-8= -7.
Assim a segunda coluna é
x^{(2)}=\left[\begin{array}{r}-7\\[2pt]2\\[2pt]1\end{array}\right].]

Passo 7

Encontrar a terceira coluna de M^{-1}\): resolver \(M x = e_3\). Sistema: \[\begin{cases} x_1+3x_2+x_3=0,\\[4pt] 2x_1+7x_2+x_3=0,\\[4pt] - x_1-4x_2+x_3=1. \end{cases}
Combinações:
  • Subtrair a primeira da segunda: x_1+4x_2=0.\] (Eq. E) - Somar a primeira com a terceira: \(-x_2+2x_3=1. (Eq. F) Então x_2=2x_3-1.
    Substituindo em (E):
x_1+4(2x_3-1)=0\quad\Rightarrow\quad x_1+8x_3-4=0\quad\Rightarrow\quad x_1=4-8x_3.
Inserindo na primeira equação:
(4-8x_3)+3(2x_3-1)+x_3=0 \quad\Rightarrow\quad 4-8x_3+6x_3-3+x_3=0 \quad\Rightarrow\quad 1-x_3=0,
logo x_3=1. Então x_2=2\cdot1-1=1 e x_1=4-8= -4.
Terceira coluna:
x^{(3)}=\left[\begin{array}{r}-4\\[2pt]1\\[2pt]1\end{array}\right].]

Passo 8

Montagem de M^{-1}.
  • Colocando as três colunas encontradas, obtemos
M^{-1}=\left[\begin{array}{rrr} 11 & -7 & -4\\[4pt] -3 & 2 & 1\\[4pt] -1 & 1 & 1 \end{array}\right].]

Passo 9

Agora montamos A^{-1} usando a propriedade de bloco diagonal:
A^{-1}=\left[\begin{array}{cc} M^{-1} & 0_{3\times2}\\[6pt] 0_{2\times3} & N^{-1} \end{array}\right],
ou explicitamente
A^{-1}=\left[\begin{array}{rrrrr} 11 & -7 & -4 & 0 & 0\\[4pt] -3 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] -1 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -3 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 2 & -1 \end{array}\right].]

Passo 10

Resolver A X=B usando A^{-1}.
  • Em geral, se A é inversível, X=A^{-1}B.
  • Por blocos: escrevendo X=\left[\begin{smallmatrix}x_{(3)}\\[2pt]x_{(2)}\end{smallmatrix}\right] com x_{(3)}\in\mathbb{R}^3 e x_{(2)}\in\mathbb{R}^2, e B=\left[\begin{smallmatrix}b_{(3)}\\[2pt]b_{(2)}\end{smallmatrix}\right] onde
b_{(3)}=\left[\begin{array}{r}0\\[2pt]-1\\[2pt]0\end{array}\right],\qquad b_{(2)}=\left[\begin{array}{r}0\\[2pt]7\end{array}\right],
temos
x_{(3)}=M^{-1}b_{(3)},\qquad x_{(2)}=N^{-1}b_{(2)}.]

Passo 11

Cálculo concreto de X.
  • Para a parte superior:
x_{(3)}=M^{-1}\,b_{(3)} =\left[\begin{array}{rrr} 11 & -7 & -4\\[4pt] -3 & 2 & 1\\[4pt] -1 & 1 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{r}0\\[2pt]-1\\[2pt]0\end{array}\right] = -1\cdot\left[\begin{array}{r}-7\\[2pt]2\\[2pt]1\end{array}\right] =\left[\begin{array}{r}7\\[2pt]-2\\[2pt]-1\end{array}\right].
  • Para a parte inferior:
x_{(2)}=N^{-1}\,b_{(2)} =\left[\begin{array}{rr}-3 & 2\\[4pt]2 & -1\end{array}\right] \left[\begin{array}{r}0\\[2pt]7\end{array}\right] =\left[\begin{array}{r}2\cdot7\\[2pt]-1\cdot7\end{array}\right] =\left[\begin{array}{r}14\\[2pt]-7\end{array}\right].
  • Portanto a solução completa é
X=\left[\begin{array}{r} 7\\[2pt] -2\\[2pt] -1\\[2pt] 14\\[2pt] -7 \end{array}\right].]

Resposta

A^{-1}=\left[\begin{array}{rrrrr} 11 & -7 & -4 & 0 & 0\\[4pt] -3 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] -1 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -3 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 2 & -1 \end{array}\right]
X=\left[\begin{array}{r} 7\\[2pt] -2\\[2pt] -1\\[2pt] 14\\[2pt] -7 \end{array}\right]]

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