Como encontrar M^{-1} (3\times3) de forma prática e didática.
Um método direto e muito prático em prova: para achar M^{-1} resolvemos três sistemas M x^{(i)}=e_i, onde e_i são as colunas da identidade. Cada solução x^{(i)} é a i-ésima coluna de M^{-1}.
Primeiro verifique o determinante (saber que é invertível). Usando desenvolvimento por co-fatores:
Como \det(M)=1\neq0, M é invertível e o método acima é válido. Além disso o determinante sendo 1 indica que M^{-1} terá entradas inteiras quando M tem entradas inteiras (muito conveniente).]
Passo 5
Encontrar a primeira coluna de M^{-1}\): resolver \(M x = e_1\).
Escreve-se o sistema (componentes):
\[\begin{cases} x_1+3x_2+x_3=1,\\[4pt] 2x_1+7x_2+x_3=0,\\[4pt] - x_1-4x_2+x_3=0. \end{cases}
Fazendo combinações para simplificar:
Subtrair a primeira equação da segunda: x_1+4x_2=-1.\] (Eq. A)
- Somar a primeira com a terceira: \(-x_2+2x_3=1. (Eq. B) Então x_2=2x_3-1.
Substituindo em (A):
Encontrar a segunda coluna de M^{-1}\): resolver \(M x = e_2\).
Sistema:
\[\begin{cases} x_1+3x_2+x_3=0,\\[4pt] 2x_1+7x_2+x_3=1,\\[4pt] - x_1-4x_2+x_3=0. \end{cases}
Novas combinações:
Subtrair a primeira da segunda: x_1+4x_2=1.\] (Eq. C)
- Somar a primeira com a terceira: \(-x_2+2x_3=0. (Eq. D) Então x_2=2x_3.
Substituindo em (C):
Por blocos: escrevendo X=\left[\begin{smallmatrix}x_{(3)}\\[2pt]x_{(2)}\end{smallmatrix}\right] com x_{(3)}\in\mathbb{R}^3 e x_{(2)}\in\mathbb{R}^2, e B=\left[\begin{smallmatrix}b_{(3)}\\[2pt]b_{(2)}\end{smallmatrix}\right] onde