-41 (a) Se o pêndulo físico do Exemplo 15-5 é invertido e pendurado pelo ponto
, qual é o período de oscilação? (b) O período é maior, menor ou igual ao valor anterior?
Passo 1
O enunciado refere-se ao “pêndulo físico do Exemplo 15-5” e pergunta duas coisas:
- (a) Qual é o período de oscilação se esse mesmo pêndulo for invertido e pendurado pelo ponto
? - (b) O período é maior, menor ou igual ao valor anterior (o do Exemplo 15-5)?
Informações relevantes que o enunciado original deveria fornecer (mas que não foram enviadas aqui):
- A distribuição de massa do corpo (ou o momento de inércia em relação ao centro de massa).
- A posição do ponto
em relação ao centro de massa (a distância). - O valor do período original do Exemplo 15-5 (ou os parâmetros usados lá).
Sem esses dados numéricos ou a figura do Exemplo 15-5, não é possível dar um valor numérico específico. Vou, então, desenvolver a solução geral e explicar como decidir se o período aumenta, diminui ou fica igual.
Passo 2
O que falta para um cálculo numérico direto:
- A massa
do pêndulo (ou que ela cancele se se pedir apenas comparação). - A distância escalar
entre o ponto e o centro de massa (ou como ela muda ao inverter). - O momento de inércia do corpo em relação ao eixo que passa por
, , ou o momento de inércia em relação ao centro de massa para aplicar o teorema dos eixos paralelos.
Como esses itens não foram fornecidos, vou expressar o período simbolicamente e explicar o efeito de “inverter” de forma geral.
Passo 3
Dedução da fórmula do período de um pêndulo físico (aula rápida, passo a passo).
Definições e ideia física:
- Um pêndulo físico é um corpo rígido que oscila pequeno ângulo em torno de um ponto de suspensão fixo.
- Seja
a massa do corpo, a distância entre o ponto de suspensão e o centro de massa do corpo, e o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação que passa por . - Para pequenos deslocamentos angulares
(em radianos), a força gravitacional produz um torque restaurador aproximadamente proporcional a .
Cálculo do torque e equação de movimento:
- O torque devido ao peso em torno do ponto
é . O sinal negativo indica que é restaurador. - Para pequenos ângulos usamos a aproximação de pequeno ângulo
. Assim . - A segunda lei rotacional para o corpo rígido é
. Substituindo,
- Esta é a equação de um oscilador harmônico simples com frequência angular
- Portanto o período é
Interpretação das variáveis:
-
é o momento de inércia em relação ao ponto de suspensão . Se se conhece (momento de inércia em torno do centro de massa) e a distância , então pelo teorema dos eixos paralelos
Passo 4
O que significa “inverter” o pêndulo e como isso afeta
e
.
Dois sentidos possíveis de “inverter”:
- Girar o corpo em torno do próprio ponto
(por exemplo, rodar 180° em torno de ), mantendo o ponto de suspensão exatamente o mesmo. - Prender o corpo por outro ponto (ou seja, antes estava preso por um ponto diferente; agora passa-se a pendurar por
). Isso claramente muda as distâncias relativas e o momento de inércia em relação ao pivô.
Efeito no período em cada caso:
- Caso 1 (mesmo ponto
, apenas o corpo é invertido em torno de ): a geometria relativa entre e toda a massa do corpo não muda em módulo — o vetor posição do centro de massa muda de sentido, mas a distância escalar permanece a mesma; o momento de inércia em relação a um eixo que passa por também permanece o mesmo, porque a rotação rígida do corpo em torno de um eixo que atravessa não altera . Portanto, os parâmetros e permanecem numericamente iguais e, por consequência, o período permanece igual ao valor anterior. - Caso 2 (antes o pêndulo estava preso por outro ponto; agora passa a ser preso por
): então geralmente e mudam (usando ), e o período será, em geral, diferente. Para saber se aumenta ou diminui é preciso comparar numericamente os valores de antes e depois, já que
Observação sobre estabilidade:
- Se ao “inverter” a configuração o centro de massa acabar situado acima do ponto
(isto é, fica abaixo do centro de massa), a configuração seria um equilíbrio instável e não haveria pequenas oscilações harmônicas estáveis — nesse caso não existe período real de pequenas oscilações; a frequência seria imaginária (a solução da equação dá crescimento exponencial e não oscilações).
Passo 5
Exemplos concretos (para fixar a ideia):
- Exemplo rápido: um bastão uniforme de massa
e comprimento pivotado num ponto que está a uma distância do centro. Então e
Se o bastão for girado 180° em torno do ponto
(mesmo ponto de suspensão),
e
não mudam numericamente, então
não muda. Se, por outro lado, antes estava preso em uma extremidade e depois preso no meio, então
e
mudam e é necessário comparar os quocientes
para saber se
aumenta ou diminui.
Resposta
(a)
\n
(b) Se a inversão mantiver o mesmo ponto de suspensão (ou seja, o corpo é apenas girado em torno desse mesmo ponto), o período é igual ao anterior. Se, em vez disso, o pêndulo passar a ser preso por um ponto diferente (mudando
e
), o período pode aumentar ou diminuir dependendo de como muda o valor de
. Se a inversão colocar o centro de massa acima de
, não há oscilações pequenas estáveis (nenhum período real).
(b) Se a inversão mantiver o mesmo ponto de suspensão