-41 (a) Se o pêndulo físico do Exemplo 15-5 é invertido e pendurado pelo ponto P, qual é o período de oscilação? (b) O período é maior, menor ou igual ao valor anterior?

Passo 1

O enunciado refere-se ao “pêndulo físico do Exemplo 15-5” e pergunta duas coisas:
  • (a) Qual é o período de oscilação se esse mesmo pêndulo for invertido e pendurado pelo ponto P?
  • (b) O período é maior, menor ou igual ao valor anterior (o do Exemplo 15-5)?
Informações relevantes que o enunciado original deveria fornecer (mas que não foram enviadas aqui):
  • A distribuição de massa do corpo (ou o momento de inércia em relação ao centro de massa).
  • A posição do ponto P em relação ao centro de massa (a distância).
  • O valor do período original do Exemplo 15-5 (ou os parâmetros usados lá).
Sem esses dados numéricos ou a figura do Exemplo 15-5, não é possível dar um valor numérico específico. Vou, então, desenvolver a solução geral e explicar como decidir se o período aumenta, diminui ou fica igual.

Passo 2

O que falta para um cálculo numérico direto:
  • A massa m do pêndulo (ou que ela cancele se se pedir apenas comparação).
  • A distância escalar d entre o ponto P e o centro de massa (ou como ela muda ao inverter).
  • O momento de inércia do corpo em relação ao eixo que passa por P, I_P, ou o momento de inércia em relação ao centro de massa I_\text{cm} para aplicar o teorema dos eixos paralelos.
Como esses itens não foram fornecidos, vou expressar o período simbolicamente e explicar o efeito de “inverter” de forma geral.

Passo 3

Dedução da fórmula do período de um pêndulo físico (aula rápida, passo a passo).
Definições e ideia física:
  • Um pêndulo físico é um corpo rígido que oscila pequeno ângulo em torno de um ponto de suspensão fixo.
  • Seja m a massa do corpo, d a distância entre o ponto de suspensão P e o centro de massa do corpo, e I_P o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação que passa por P.
  • Para pequenos deslocamentos angulares \theta (em radianos), a força gravitacional produz um torque restaurador aproximadamente proporcional a \theta.
Cálculo do torque e equação de movimento:
  • O torque devido ao peso em torno do ponto P é \tau = - m g d \sin\theta. O sinal negativo indica que é restaurador.
  • Para pequenos ângulos usamos a aproximação de pequeno ângulo \sin\theta \approx \theta. Assim \tau \approx - m g d\,\theta.
  • A segunda lei rotacional para o corpo rígido é I_P \,\ddot\theta = \tau. Substituindo,
I_P \,\ddot\theta + m g d\,\theta = 0.
  • Esta é a equação de um oscilador harmônico simples com frequência angular
\omega^2 = \frac{m g d}{I_P}.
  • Portanto o período é
T = 2\pi \sqrt{\frac{I_P}{m g d}}.
Interpretação das variáveis:
  • I_P é o momento de inércia em relação ao ponto de suspensão P. Se se conhece I_\text{cm} (momento de inércia em torno do centro de massa) e a distância d, então pelo teorema dos eixos paralelos
I_P = I_\text{cm} + m d^2.

Passo 4

O que significa “inverter” o pêndulo e como isso afeta I_P e d.
Dois sentidos possíveis de “inverter”:
  1. Girar o corpo em torno do próprio ponto P (por exemplo, rodar 180° em torno de P), mantendo o ponto de suspensão P exatamente o mesmo.
  2. Prender o corpo por outro ponto (ou seja, antes estava preso por um ponto diferente; agora passa-se a pendurar por P). Isso claramente muda as distâncias relativas e o momento de inércia em relação ao pivô.
Efeito no período em cada caso:
  • Caso 1 (mesmo ponto P, apenas o corpo é invertido em torno de P): a geometria relativa entre P e toda a massa do corpo não muda em módulo — o vetor posição do centro de massa muda de sentido, mas a distância escalar d permanece a mesma; o momento de inércia em relação a um eixo que passa por P também permanece o mesmo, porque a rotação rígida do corpo em torno de um eixo que atravessa P não altera I_P. Portanto, os parâmetros I_P e d permanecem numericamente iguais e, por consequência, o período T permanece igual ao valor anterior.
  • Caso 2 (antes o pêndulo estava preso por outro ponto; agora passa a ser preso por P): então geralmente d e I_P mudam (usando I_P = I_\text{cm} + m d^2), e o período será, em geral, diferente. Para saber se aumenta ou diminui é preciso comparar numericamente os valores de \dfrac{I_P}{d} antes e depois, já que
T \propto \sqrt{\frac{I_P}{d}}.
Observação sobre estabilidade:
  • Se ao “inverter” a configuração o centro de massa acabar situado acima do ponto P (isto é, P fica abaixo do centro de massa), a configuração seria um equilíbrio instável e não haveria pequenas oscilações harmônicas estáveis — nesse caso não existe período real de pequenas oscilações; a frequência seria imaginária (a solução da equação dá crescimento exponencial e não oscilações).

Passo 5

Exemplos concretos (para fixar a ideia):
  • Exemplo rápido: um bastão uniforme de massa m e comprimento L pivotado num ponto P que está a uma distância a do centro. Então I_\text{cm}=(1/12)mL^2 e
I_P = \frac{1}{12}mL^2 + m a^2, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{\tfrac{1}{12}mL^2 + m a^2}{m g a}}.
Se o bastão for girado 180° em torno do ponto P (mesmo ponto de suspensão), a e I_P não mudam numericamente, então T não muda. Se, por outro lado, antes estava preso em uma extremidade e depois preso no meio, então a e I_P mudam e é necessário comparar os quocientes \dfrac{I_P}{a} para saber se T aumenta ou diminui.

Resposta

(a) T = 2\pi\sqrt{\dfrac{I_P}{m g d}} \n
(b) Se a inversão mantiver o mesmo ponto de suspensão P (ou seja, o corpo é apenas girado em torno desse mesmo ponto), o período é igual ao anterior. Se, em vez disso, o pêndulo passar a ser preso por um ponto diferente (mudando d e I_P), o período pode aumentar ou diminuir dependendo de como muda o valor de \dfrac{I_P}{d}. Se a inversão colocar o centro de massa acima de P, não há oscilações pequenas estáveis (nenhum período real).

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