Se uma lâmpada de 75 W construída para operar em 120 V for conectada a uma tensão de 220 V , quanta potência será dissipada? Despreze a dependência de temperatura da resistência da lâmpada.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma única coisa.
  • Dados fornecidos:
    • Potência nominal da lâmpada em sua tensão de projeto: P_{\text{nom}}=75\\ \mathrm{W}.
    • Tensão para a qual a lâmpada foi projetada: V_{\text{nom}}=120\\ \mathrm{V}.
    • Tensão aplicada agora: V'=220\\ \mathrm{V}.
    • Suposição: desprezar a dependência da resistência com a temperatura (ou seja, a resistência elétrica da lâmpada é considerada constante).
  • Pergunta:
    • Quanto de potência será dissipada pela lâmpada quando ligada em V'=220\\ \mathrm{V}?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática).
  • A potência elétrica instantânea dissipada por um resistor pode ser escrita de várias maneiras equivalentes. As duas fórmulas básicas são
P = V I
e, usando a Lei de Ohm V = I R,
P = I^2 R = \frac{V^2}{R}.
Aqui:
  • P é a potência em watts ( \mathrm{W}),
  • V é a tensão em volts ( \mathrm{V}),
  • I é a corrente em ampères ( \mathrm{A}),
  • R é a resistência em ohms ( \Omega).
Explicação curta: como V=IR, substituir em P=VI P=(IR)I=I^2R; substituir I=V/R em P=VI P=V(V/R)=V^2/R. Essa última é a que vamos usar porque conhecemos tensões e potência nominal.

Passo 3

Determinar a resistência da lâmpada usando os valores nominais (já que assumimos R constante).
  • Usamos a fórmula \displaystyle P=\frac{V^2}{R} e isolamos R:
R=\frac{V^2}{P}.
  • Substituindo os dados nominais:
R=\frac{\bigl(120\\ \mathrm{V}\bigr)^2}{75\\ \mathrm{W}}.
  • Cálculo passo a passo:
    • (120)^2=14400.
    • Portanto R=\dfrac{14400}{75}\\ \Omega.
    • Simplificando: dividir numerador e denominador por 3 \dfrac{4800}{25}=192.
  • Resultado:
R=192\\ \Omega.
Comentário didático: a unidade faz sentido porque \mathrm{V}^2/\mathrm{W}=\mathrm{V}^2/(\mathrm{V}\cdot\mathrm{A})=\mathrm{V}/\mathrm{A}=\Omega.

Passo 4

Calcular a potência dissipada quando a lâmpada for alimentada com V'=220\\ \mathrm{V}, usando a resistência encontrada.
  • Usamos novamente \displaystyle P'=\frac{{V'}^2}{R}.
  • Substituindo:
P'=\frac{\bigl(220\\ \mathrm{V}\bigr)^2}{192\\ \Omega}.
  • Cálculo passo a passo:
    • (220)^2=48400.
    • Então P'=\dfrac{48400}{192}\\ \mathrm{W}.
    • Para simplificar, dividir numerador e denominador por 16 \dfrac{3025}{12}.
    • Agora \dfrac{3025}{12}=252+\dfrac{1}{12}=252,0833\ldots
  • Resultado numérico aproximado:
P'\approx252{,}08\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Interpretação rápida e checagem: potência escala com o quadrado da tensão.
  • Podemos checar usando o fator de escala \bigl(\tfrac{V'}{V_{\text{nom}}}\bigr)^2:
P' = P_{\text{nom}}\left(\frac{V'}{V_{\text{nom}}}\right)^2 =75\left(\frac{220}{120}\right)^2 \approx75\cdot3{,}3611\approx252{,}08\\ \mathrm{W},
o que confirma o cálculo anterior.
  • Observação prática (motivacional): isso significa que, sob a hipótese de resistência constante, a lâmpada dissiparia mais de três vezes a potência para a qual foi projetada — por isso, na vida real ela queimaria rapidamente. Mas como o enunciado pediu, desprezamos o efeito da temperatura aqui.

Resposta

P' \approx 252{,}08\\ \mathrm{W}

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