41 Questăo: Dois vasos com volumes V_{1} e V_{2}\left(V_{2}>V_{1}\right) contêm um certo gás e estão conectados através de um tubo fino. Incialmente, os vasos estão à mesma temperatura T_{0}, e à mesma pressão p_{0} .0 maior vaso (de volume V_{2} ) é entăo aquecido à temperatura T_{1}\left(T_{1}>T_{0}\right), enquanto o menor permanece à mesma temperatura inicial To. Calcule a pressão final, p. (Sugestão: a única equação importante deste problema é a equação de estado para o gás ideal, ou p V=n R T.)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dois vasos estão ligados por um tubo fino e contêm um mesmo gás ideal.
  • Volumes dos vasos: V_{1} (menor) e V_{2} (maior), com V_{2}>V_{1}.
  • Condição inicial: toda a massa de gás está à mesma pressão e temperatura iniciais p_{0} e T_{0}.
  • Processo: o vaso de volume V_{2} é aquecido até a temperatura T_{1}, com T_{1}>T_{0}; o vaso de volume V_{1} permanece à temperatura T_{0}.
  • Os vasos permanecem conectados pelo tubo fino, portanto a pressão se iguala em todo o sistema no estado final.
O que o enunciado pede:
  • Calcular a pressão final p após o aquecimento.
Observações úteis que partem do enunciado (não é resolução ainda):
  • O número total de mols de gás no conjunto não muda durante o processo (não há vazamento nem reação química).
  • A pressão final é a mesma nos dois vasos, mas as temperaturas finais são diferentes: T_{0} no vaso V_{1} e T_{1} no vaso V_{2}.

Passo 2

Relembrando a ferramenta principal: a equação de estado do gás ideal.
A equação do gás ideal é
pV = n R T,
onde:
  • p é a pressão do gás,
  • V é o volume ocupado pelo gás,
  • n é o número de mols do gás,
  • R é a constante dos gases ideais,
  • T é a temperatura absoluta (Kelvin).
Essa fórmula relaciona pressão, volume, número de mols e temperatura. Vou usá‑la separadamente para cada vaso e também para o estado inicial total.

Passo 3

Calcular o número total de mols n_{\text{tot}} do gás a partir do estado inicial (antes do aquecimento).
No estado inicial ambos os vasos estão à mesma pressão p_{0} e temperatura T_{0}, então o volume total ocupado pelo gás é V_{1}+V_{2}. Aplicando a equação do gás ideal ao conjunto total:
p_{0}(V_{1}+V_{2}) = n_{\text{tot}} R T_{0}.
Isolando n_{\text{tot}}:
n_{\text{tot}}=\frac{p_{0}(V_{1}+V_{2})}{R T_{0}}.
Explicação didática: isso diz quantos mols de gás existem inicialmente, obtidos simplesmente pela versão n=\dfrac{pV}{RT}, usando o volume total.

Passo 4

Expressar os números de mols em cada vaso no estado final, em função da pressão final p.
No estado final a pressão em ambos os vasos é a mesma, p. Contudo as temperaturas são diferentes:
  • No vaso de volume V_{1}: temperatura final T_{0}. Pela equação do gás ideal:
n_{1}=\frac{p V_{1}}{R T_{0}}.
  • No vaso de volume V_{2}: temperatura final T_{1}. Pela equação do gás ideal:
n_{2}=\frac{p V_{2}}{R T_{1}}.
Como o conjunto é fechado, a conservação do número total de mols exige
n_{1}+n_{2}=n_{\text{tot}}.

Passo 5

Montar a equação da conservação de mols substituindo as expressões de n_{1}, n_{2} e n_{\text{tot}}.
Substituindo as fórmulas:
\frac{p V_{1}}{R T_{0}}+\frac{p V_{2}}{R T_{1}}=\frac{p_{0}(V_{1}+V_{2})}{R T_{0}}.
Podemos simplificar cancelando R nos dois lados:
\frac{p V_{1}}{T_{0}}+\frac{p V_{2}}{T_{1}}=\frac{p_{0}(V_{1}+V_{2})}{T_{0}}.

Passo 6

Isolar p na equação mostrada e fazer as manipulações algébricas de forma clara.
Da igualdade
p\left(\frac{V_{1}}{T_{0}}+\frac{V_{2}}{T_{1}}\right)=\frac{p_{0}(V_{1}+V_{2})}{T_{0}},
temos
p=\frac{p_{0}(V_{1}+V_{2})/T_{0}}{\dfrac{V_{1}}{T_{0}}+\dfrac{V_{2}}{T_{1}}}.
Agora vamos simplificar o denominador escrevendo-o com um único denominador:
\frac{V_{1}}{T_{0}}+\frac{V_{2}}{T_{1}}=\frac{V_{1}T_{1}+V_{2}T_{0}}{T_{0}T_{1}}.
Substituindo isso em p:
p=\frac{p_{0}(V_{1}+V_{2})/T_{0}}{(V_{1}T_{1}+V_{2}T_{0})/(T_{0}T_{1})}.
Cancelando o fator 1/T_{0} e simplificando:
p=p_{0}\,\frac{(V_{1}+V_{2})\,T_{1}}{V_{1}T_{1}+V_{2}T_{0}}.
Esta é a expressão final para a pressão final p.

Passo 7

Interpretação rápida (pra te dar confiança):
  • Se T_{1}=T_{0} a fórmula dá p=p_{0}, como esperado (nenhuma mudança de temperatura).
  • Se T_{1}>T_{0} então p>p_{0} — aquecer um dos vasos aumenta a pressão do conjunto.
  • A expressão mostra que p é um tipo de média ponderada em que os volumes e temperaturas aparecem combinados: o vaso quente contribui com V_{1}T_{1} no denominador e o frio com V_{2}T_{0}.
Força aí — dá pra entender passo a passo e usar a mesma ideia em problemas parecidos: escrever a equação do gás para cada porção, usar conservação de mols e isolar a pressão.

Resposta

p = p_{0}\,\frac{(V_{1}+V_{2})\,T_{1}}{V_{1}T_{1}+V_{2}T_{0}}.

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