41 Questăo: Dois vasos com volumes
e
contêm um certo gás e estão conectados através de um tubo fino. Incialmente, os vasos estão à mesma temperatura
, e à mesma pressão
maior vaso (de volume
) é entăo aquecido à temperatura
, enquanto o menor permanece à mesma temperatura inicial To. Calcule a pressão final,
. (Sugestão: a única equação importante deste problema é a equação de estado para o gás ideal, ou
.)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Dois vasos estão ligados por um tubo fino e contêm um mesmo gás ideal.
- Volumes dos vasos:
(menor) e (maior), com . - Condição inicial: toda a massa de gás está à mesma pressão e temperatura iniciais
e . - Processo: o vaso de volume
é aquecido até a temperatura , com ; o vaso de volume permanece à temperatura . - Os vasos permanecem conectados pelo tubo fino, portanto a pressão se iguala em todo o sistema no estado final.
O que o enunciado pede:
- Calcular a pressão final
após o aquecimento.
Observações úteis que partem do enunciado (não é resolução ainda):
- O número total de mols de gás no conjunto não muda durante o processo (não há vazamento nem reação química).
- A pressão final é a mesma nos dois vasos, mas as temperaturas finais são diferentes:
no vaso e no vaso .
Passo 2
Relembrando a ferramenta principal: a equação de estado do gás ideal.
A equação do gás ideal é
onde:
-
é a pressão do gás, -
é o volume ocupado pelo gás, -
é o número de mols do gás, -
é a constante dos gases ideais, -
é a temperatura absoluta (Kelvin).
Essa fórmula relaciona pressão, volume, número de mols e temperatura. Vou usá‑la separadamente para cada vaso e também para o estado inicial total.
Passo 3
Calcular o número total de mols
do gás a partir do estado inicial (antes do aquecimento).
No estado inicial ambos os vasos estão à mesma pressão
e temperatura
, então o volume total ocupado pelo gás é
. Aplicando a equação do gás ideal ao conjunto total:
Isolando
:
Explicação didática: isso diz quantos mols de gás existem inicialmente, obtidos simplesmente pela versão
, usando o volume total.
Passo 4
Expressar os números de mols em cada vaso no estado final, em função da pressão final
.
No estado final a pressão em ambos os vasos é a mesma,
. Contudo as temperaturas são diferentes:
- No vaso de volume
: temperatura final . Pela equação do gás ideal:
- No vaso de volume
: temperatura final . Pela equação do gás ideal:
Como o conjunto é fechado, a conservação do número total de mols exige
Passo 5
Montar a equação da conservação de mols substituindo as expressões de
,
e
.
Substituindo as fórmulas:
Podemos simplificar cancelando
nos dois lados:
Passo 6
Isolar
na equação mostrada e fazer as manipulações algébricas de forma clara.
Da igualdade
temos
Agora vamos simplificar o denominador escrevendo-o com um único denominador:
Substituindo isso em
:
Cancelando o fator
e simplificando:
Esta é a expressão final para a pressão final
.
Passo 7
Interpretação rápida (pra te dar confiança):
- Se
a fórmula dá , como esperado (nenhuma mudança de temperatura). - Se
então — aquecer um dos vasos aumenta a pressão do conjunto. - A expressão mostra que
é um tipo de média ponderada em que os volumes e temperaturas aparecem combinados: o vaso quente contribui com no denominador e o frio com .
Força aí — dá pra entender passo a passo e usar a mesma ideia em problemas parecidos: escrever a equação do gás para cada porção, usar conservação de mols e isolar a pressão.