Uma espira quadrada de lado 0,5 \mathrm{~m} está posicionada no plano x y, no qual seu vértice inferior esquerdo se encontra no ponto P(0,0,0). Se a espira possui resistência 500 \Omega e, na região da espira um campo magnético existe saindo do plano, determine a corrente que circula na espira nos seguintes casos:
Com \vec{B}=0,4 \cos \left[\pi\left(3 \times 10^{8} t-y\right)\right] \vec{a}_{z} \mu T
(Gabarito: \left.I=120\left[\cos \left(3 \pi \times 10^{8} t\right)-\operatorname{sen}\left(3 \pi \times 10^{8} t\right)\right] m A\right)

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo abaixo foi extraído diretamente do enunciado):
  • A espira é quadrada com lado \,0{,}5\\ \mathrm{m}\,.
  • A espira está no plano xy com o vértice inferior esquerdo em P(0,0,0). Logo a espira ocupa 0\le x\le 0{,}5 e 0\le y\le 0{,}5.
  • A resistência da espira é \,500\\ \Omega.
  • O campo magnético na região da espira é dado por
\vec{B}(y,t)=0{,}4\cos\!\big[\pi(3\times10^{8}t-y)\big]\\ \vec{a}_z\\ \mu\mathrm{T}.
  • A pergunta: determinar a corrente que circula na espira como função do tempo.
Observações importantes (dados numéricos que vou usar explicitamente): lado a=0{,}5\\ \mathrm{m}, resistência R=500\\ \Omega, fator de conversão \,1\\ \mu\mathrm{T}=10^{-6}\\ \mathrm{T}.

Passo 2

Entendendo a ideia física e a fórmula-chave (aulas rápidas, sem pular etapas).
  • O fluxo magnético através da espira é definido por
\Phi(t)=\iint_{S}\vec{B}\cdot d\vec{S},
onde S é a superfície limitada pela espira e d\vec{S} é o vetor área (direção \vec{a}_z porque a espira está no plano xy). Aqui \vec{B} tem só componente z, então o produto escalar fica só com B_z.
  • A Lei de Faraday diz que a fem induzida é
\mathcal{E}(t)=-\frac{d\Phi}{dt}.
Isso significa: calcular o fluxo, derivar em relação a t e pôr sinal negativo (o sinal indica a orientação da fem segundo a regra de Lenz).
  • A corrente na espira é dada pela lei de Ohm (assumindo circuito resistivo simples)
I(t)=\frac{\mathcal{E}(t)}{R}.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo à nossa espira.

Passo 3

Calcular o fluxo magnético \Phi(t).
Primeiro converter o campo para tesla: 0{,}4\\ \mu\mathrm{T}=0{,}4\times10^{-6}\\ \mathrm{T}.
Como \vec{B}=B_z(y,t)\,\vec{a}_z e d\vec{S}=dx\,dy\,\vec{a}_z, temos
\Phi(t)=\int_{x=0}^{0{,}5}\int_{y=0}^{0{,}5} B_z(y,t)\,dy\,dx.
Como B_z não depende de x, a integral sobre x apenas dá um fator 0{,}5:
\Phi(t)=0{,}5\int_{0}^{0{,}5}0{,}4\times10^{-6}\cos\!\big[\pi(3\times10^{8}t-y)\big]\,dy.
Colocando constantes fora:
\Phi(t)=0{,}5\cdot0{,}4\cdot10^{-6}\int_{0}^{0{,}5}\cos\!\big[\pi(3\times10^{8}t-y)\big]\,dy.
Calculemos a integral. Defina \theta(y)=\pi(3\times10^{8}t-y). Então d\theta/dy=-\pi, e
\int\cos(\theta(y))\,dy= -\frac{1}{\pi}\sin(\theta(y)).
Avalia entre y=0 e y=0{,}5:
\int_{0}^{0{,}5}\cos\!\big[\pi(3\times10^{8}t-y)\big]dy = -\frac{1}{\pi}\Big(\sin\!\big[\pi(3\times10^{8}t-0{,}5)\big]-\sin\!\big[\pi(3\times10^{8}t)\big]\Big).
Usando a identidade trigonométrica \sin(\alpha-\tfrac{\pi}{2})=-\cos\alpha (observe que \pi\cdot0{,}5=\tfrac{\pi}{2}), temos
\sin\!\big[\pi(3\times10^{8}t-0{,}5)\big]=\sin\!\big[\pi(3\times10^{8}t)-\tfrac{\pi}{2}\big]=-\cos\!\big[\pi(3\times10^{8}t)\big].
Portanto a diferença dentro do parêntese fica -\cos(\pi3\times10^{8}t)-\sin(\pi3\times10^{8}t), e com o menos da expressão inteira obtemos
\int_{0}^{0{,}5}\cos\!\big[\pi(3\times10^{8}t-y)\big]dy=\frac{1}{\pi}\big(\cos\!\big[\pi(3\times10^{8}t)\big]+\sin\!\big[\pi(3\times10^{8}t)\big]\big).
Agora retorne para \Phi(t). As constantes multiplicativas foram 0{,}5\cdot0{,}4\cdot10^{-6}=0{,}2\cdot10^{-6}=2\times10^{-7}. Então
\Phi(t)=\frac{2\times10^{-7}}{\pi}\Big(\cos\!\big[\pi(3\times10^{8}t)\big]+\sin\!\big[\pi(3\times10^{8}t)\big]\Big)\quad\text{(em weber)}.

Passo 4

Derivar o fluxo para obter a fem \mathcal{E}(t)=-\dfrac{d\Phi}{dt}.
Defina \omega=\pi(3\times10^{8})=3\pi\times10^{8}. Então
\Phi(t)=\frac{2\times10^{-7}}{\pi}\big(\cos(\omega t)+\sin(\omega t)\big).
Derivando:
\frac{d\Phi}{dt}=\frac{2\times10^{-7}}{\pi}\big(-\omega\sin(\omega t)+\omega\cos(\omega t)\big) =\frac{2\times10^{-7}\,\omega}{\pi}\big(\cos(\omega t)-\sin(\omega t)\big).
Pela Lei de Faraday,
\mathcal{E}(t)=-\frac{d\Phi}{dt}=-\frac{2\times10^{-7}\,\omega}{\pi}\big(\cos(\omega t)-\sin(\omega t)\big).

Passo 5

Avaliar os coeficientes numéricos com cuidado (passo a passo, sem calculadora complexa).
Calcule \dfrac{\omega}{\pi}:
\frac{\omega}{\pi}=\frac{3\pi\times10^{8}}{\pi}=3\times10^{8}.
Então o fator multiplicativo fica
\frac{2\times10^{-7}\,\omega}{\pi}=2\times10^{-7}\cdot 3\times10^{8}=6\times10^{1}=60.
Portanto a fem é
\mathcal{E}(t)=-60\big(\cos(\omega t)-\sin(\omega t)\big)\quad\text{(volts)}.
(Interpretando: a amplitude da fem é 60\\ \mathrm{V} multiplicando a combinação trigonométrica.)

Passo 6

Determinar a corrente pela lei de Ohm e ajustar o sinal conforme convenção.
A corrente é
I(t)=\frac{\mathcal{E}(t)}{R}=\frac{-60\big(\cos(\omega t)-\sin(\omega t)\big)}{500}.
Dividindo:
\frac{60}{500}=0{,}12,
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I(t)=-0{,}12\big(\cos(\omega t)-\sin(\omega t)\big)\\ \mathrm{A}.
Convertendo para miliampere ( 1\\ \mathrm{A}=1000\\ \mathrm{mA}):
I(t)=-120\big(\cos(\omega t)-\sin(\omega t)\big)\\ \mathrm{mA}.
Nota sobre o sinal: o negativo vem diretamente da Lei de Faraday com a orientação escolhida para o fluxo e para a corrente positiva. Se a pergunta pede a corrente escalar no sentido convencional usado no gabarito, pode-se adotar a orientação oposta e então trocar o sinal. O gabarito apresenta a corrente com sinal positivo:
I(t)=120\big(\cos(\omega t)-\sin(\omega t)\big)\\ \mathrm{mA}.
Ambas as expressões são coerentes; a diferença é apenas a escolha da orientação positiva da corrente.

Resposta

I(t)=120\big(\cos\big(3\pi\times10^{8}t\big)-\sin\big(3\pi\times10^{8}t\big)\big)\\ \mathrm{mA}

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