Uma espira quadrada de lado
está posicionada no plano
, no qual seu vértice inferior esquerdo se encontra no ponto
. Se a espira possui resistência
e, na região da espira um campo magnético existe saindo do plano, determine a corrente que circula na espira nos seguintes casos:
Com
(Gabarito:
Com
(Gabarito:
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo abaixo foi extraído diretamente do enunciado):
- A espira é quadrada com lado
. - A espira está no plano
com o vértice inferior esquerdo em . Logo a espira ocupa e . - A resistência da espira é
. - O campo magnético na região da espira é dado por
- A pergunta: determinar a corrente que circula na espira como função do tempo.
Observações importantes (dados numéricos que vou usar explicitamente): lado
, resistência
, fator de conversão
.
Passo 2
Entendendo a ideia física e a fórmula-chave (aulas rápidas, sem pular etapas).
- O fluxo magnético através da espira é definido por
onde
é a superfície limitada pela espira e
é o vetor área (direção
porque a espira está no plano
). Aqui
tem só componente
, então o produto escalar fica só com
.
- A Lei de Faraday diz que a fem induzida é
Isso significa: calcular o fluxo, derivar em relação a
e pôr sinal negativo (o sinal indica a orientação da fem segundo a regra de Lenz).
- A corrente na espira é dada pela lei de Ohm (assumindo circuito resistivo simples)
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo à nossa espira.
Passo 3
Calcular o fluxo magnético
.
Primeiro converter o campo para tesla:
.
Como
e
, temos
Como
não depende de
, a integral sobre
apenas dá um fator
:
Colocando constantes fora:
Calculemos a integral. Defina
. Então
, e
Avalia entre
e
:
Usando a identidade trigonométrica
(observe que
), temos
Portanto a diferença dentro do parêntese fica
, e com o menos da expressão inteira obtemos
Agora retorne para
. As constantes multiplicativas foram
. Então
Passo 4
Derivar o fluxo para obter a fem
.
Defina
. Então
Derivando:
Pela Lei de Faraday,
Passo 5
Avaliar os coeficientes numéricos com cuidado (passo a passo, sem calculadora complexa).
Calcule
:
Então o fator multiplicativo fica
Portanto a fem é
(Interpretando: a amplitude da fem é
multiplicando a combinação trigonométrica.)
Passo 6
Determinar a corrente pela lei de Ohm e ajustar o sinal conforme convenção.
A corrente é
Dividindo:
logo
Convertendo para miliampere (
):
Nota sobre o sinal: o negativo vem diretamente da Lei de Faraday com a orientação escolhida para o fluxo e para a corrente positiva. Se a pergunta pede a corrente escalar no sentido convencional usado no gabarito, pode-se adotar a orientação oposta e então trocar o sinal. O gabarito apresenta a corrente com sinal positivo:
Ambas as expressões são coerentes; a diferença é apenas a escolha da orientação positiva da corrente.