Um certo alto-falante (admita que seja uma fonte pontual) emite 31,6 \mathrm{~W} de potencia acústica.
Um pequeno microfone com årea de seçåo transversal efetiva 75,2 \mathrm{~mm}^{2} e localizado a 194 m do alto falante Calcule (a) a intensidade sonora do microfone (b) a potencia incidente no microfone e (c) a quantidade de energia que fol fornecida ao microfone em 25,0 minutos. (Observação: Este é um problema de aplicacʒo direta de equaços basicas, que definem as quantidades em questäo. Portanto, as equaçöes näo seräo fornecidas).

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que temos e o que se pede):
  • Potência acústica emitida pelo alto-falante: P=31,6\\ \mathrm{W}.
  • Área de seção transversal efetiva do microfone: A=75,2\\ \mathrm{mm}^2.
  • Distância do microfone ao alto-falante: r=194\\ \mathrm{m}.
  • Tempo para a parte (c): 25,0\\ \mathrm{min}.
O que o enunciado pede:
(a) a intensidade sonora no local do microfone (intensidade = potência por unidade de área recebida);
(b) a potência incidente no microfone (potência que atravessa a área efetiva do microfone);
(c) a energia fornecida ao microfone em 25,0 minutos.

Passo 2

Explicação das fórmulas e conceitos que vou usar (com o porquê):
  • Para uma fonte pontual que emite potência P uniformemente em todas as direções, a potência se espalha sobre a superfície de uma esfera de raio r. A área dessa esfera é 4\pi r^{2}.
  • A intensidade sonora I é a potência por unidade de área (energia por segundo por metro quadrado) que passa através dessa superfície. Logo:
I=\frac{P}{4\pi r^{2}}.
Aqui:
  • I é a intensidade em \mathrm{W\,m^{-2}};
  • P é a potência total emitida pela fonte em \mathrm{W};
  • r é a distância da fonte ao ponto onde se calcula a intensidade, em \mathrm{m}.
  • A potência incidente sobre uma área A pequena localizada a essa distância é simplesmente:
P_{\text{inc}}=I\cdot A,
pois intensidade é potência por unidade de área.
  • A energia entregue em um tempo t é:
E=P_{\text{inc}}\cdot t.
Antes de calcular, vamos converter unidades para o SI (metros, segundos).

Passo 3

Conversões de unidades (passo a passo):
  • Área: 1\\ \mathrm{mm}^2=10^{-6}\\ \mathrm{m}^2. Portanto
A=75,2\\ \mathrm{mm}^2=75,2\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2=7,52\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2.
  • Tempo: 1\\ \mathrm{min}=60\\ \mathrm{s}. Portanto
t=25,0\\ \mathrm{min}=25,0\times60\\ \mathrm{s}=1500\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Cálculo da intensidade I no local do microfone:
Primeiro calcule r^{2}:
r^{2}=194^{2}=37636\\ (\mathrm{m}^2).
Área da esfera a essa distância:
4\pi r^{2}=4\pi\cdot37636\approx4\pi\cdot37636.
Agora aplicando a fórmula da intensidade:
I=\frac{P}{4\pi r^{2}}=\frac{31,6}{4\pi\cdot37636}.
Fazendo a conta numérica (aproximação com \pi\approx3,14159265):
4\pi r^{2}\approx472949{,}3,
logo
I\approx\frac{31,6}{472949{,}3}\approx6{,}68\times10^{-5}\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
Interpretação rápida: essa é a potência por metro quadrado que chega ao microfone.

Passo 5

Cálculo da potência incidente no microfone P_{\text{inc}}:
Usamos P_{\text{inc}}=I\cdot A com I e A já em SI:
P_{\text{inc}}=(6{,}68298\times10^{-5})\cdot(7{,}52\times10^{-5})\\ \mathrm{W}.
Multiplicando:
P_{\text{inc}}\approx5{,}03\times10^{-9}\\ \mathrm{W}.
Comentário: é uma potência extremamente pequena (o microfone “captura” uma fração minúscula da potência total porque sua área é muito pequena comparada à esfera a 194 m).

Passo 6

Cálculo da energia fornecida ao microfone em t=1500\\ \mathrm{s}:
E=P_{\text{inc}}\cdot t=(5{,}03\times10^{-9})\cdot(1500)\\ \mathrm{J}.
Logo
E\approx7{,}54\times10^{-6}\\ \mathrm{J}.
Interpretação: em 25 minutos o microfone recebe apenas alguns microsjoules de energia — bem pouco.

Resposta

(a) I\approx6{,}68\times10^{-5}\\ \mathrm{W\,m^{-2}}
(b) P_{\text{inc}}\approx5{,}03\times10^{-9}\\ \mathrm{W}
(c) E\approx7{,}54\times10^{-6}\\ \mathrm{J}

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