41E. Uma nave espacial está passeando pela borda da nossa galáxia, a 80.000 anos-luz do seu centro. Qual a velocidade de escape da nave do campo gravitacional da galáxia? A massa da nossa galáxia é
vezes a do Sol. Simplificando, suponha que a matéria que forma a galáxia está distribuída de modo uniforme num volume esférico.
Passo 1
Dados fornecidos:
A hipótese do enunciado: a matéria da galáxia está distribuída uniformemente num volume esférico (ou seja, a massa total
está contida dentro de um raio igual a
).
O que o exercício pede:
Encontrar a velocidade de escape da nave do campo gravitacional da galáxia quando ela está na borda, isto é, calcular no raio
.
Encontrar a velocidade de escape da nave do campo gravitacional da galáxia quando ela está na borda, isto é, calcular
Passo 2
Princípio físico e fórmula básica usada (explicação didática):
Para que a nave escape a uma massa partindo de uma distância
com velocidade mínima necessária, basta que sua energia cinética inicial iguale a energia potencial gravitacional em módulo, de modo que na distância infinita a energia total seja zero. Escrevemos:
Para que a nave escape a uma massa
energia cinética:
energia potencial gravitacional (de um corpo de massa
em campo criado por massa
a uma distância
):
Aqui:
-
é a massa da nave (cancela nas equações), -
é a velocidade inicial que queremos, -
é a constante gravitacional universal, -
é a massa que gera o campo, -
é a distância ao centro.
Condição de escape (energia total inicial = 0 no infinito):
Cancelando
e isolando
obtemos a fórmula conhecida:
Observação sobre a suposição de esfera uniforme: para pontos fora de uma distribuição esférica (a borda), o campo gravitacional é igual ao de uma massa pontual
concentrada no centro (teorema da casca esférica). Portanto, a fórmula acima é válida para o ponto da borda
.
Passo 3
Convertendo a massa da galáxia para unidades do Sistema Internacional:
Valor conhecido da massa do Sol:
Valor conhecido da massa do Sol:
Portanto a massa da galáxia é
Multiplicando os coeficientes:
e somando expoentes:
Passo 4
Converter o raio
de anos-luz para metros:
Valor conhecido de um ano-luz:
Valor conhecido de um ano-luz:
Então
Multiplicando:
e somando expoentes:
Passo 5
Valores numéricos da constante gravitacional e cálculo do numerador:
Constante gravitacional:
Constante gravitacional:
Calculemos
:
Multiplicando os coeficientes:
e somando expoentes:
Passo 6
Cálculo de
:
Usando a fórmula
Usando a fórmula
substituímos os valores numéricos:
Primeiro calculemos o quociente dentro da raiz:
Agora a raiz:
Convertendo para km/s (dividindo por
):
Interpretação rápida (para te confortar): esse valor é da mesma ordem de grandeza da velocidade orbital do Sol em torno do centro da galáxia (cerca de
), o que é consistente fisicamente — escapar requer velocidade comparável à velocidade orbital, multiplicada por
.