41E. Uma nave espacial está passeando pela borda da nossa galáxia, a 80.000 anos-luz do seu centro. Qual a velocidade de escape da nave do campo gravitacional da galáxia? A massa da nossa galáxia é 1,4 \times 10^{11} vezes a do Sol. Simplificando, suponha que a matéria que forma a galáxia está distribuída de modo uniforme num volume esférico.

Passo 1

Dados fornecidos:
r = 80\,000\\ \text{anos-luz}
M = 1{,}4\times10^{11}\,M_{\odot}
A hipótese do enunciado: a matéria da galáxia está distribuída uniformemente num volume esférico (ou seja, a massa total M está contida dentro de um raio igual a r).
O que o exercício pede:
Encontrar a velocidade de escape da nave do campo gravitacional da galáxia quando ela está na borda, isto é, calcular v_{\text{esc}} no raio r.

Passo 2

Princípio físico e fórmula básica usada (explicação didática):
Para que a nave escape a uma massa M partindo de uma distância r com velocidade mínima necessária, basta que sua energia cinética inicial iguale a energia potencial gravitacional em módulo, de modo que na distância infinita a energia total seja zero. Escrevemos:
energia cinética:
K=\tfrac{1}{2}mv^2
energia potencial gravitacional (de um corpo de massa m em campo criado por massa M a uma distância r):
U=-\dfrac{G M m}{r}
Aqui:
  • m é a massa da nave (cancela nas equações),
  • v é a velocidade inicial que queremos,
  • G é a constante gravitacional universal,
  • M é a massa que gera o campo,
  • r é a distância ao centro.
Condição de escape (energia total inicial = 0 no infinito):
\tfrac{1}{2}mv^2 - \dfrac{G M m}{r} = 0.
Cancelando m e isolando v obtemos a fórmula conhecida:
v_{\text{esc}}=\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}.
Observação sobre a suposição de esfera uniforme: para pontos fora de uma distribuição esférica (a borda), o campo gravitacional é igual ao de uma massa pontual M concentrada no centro (teorema da casca esférica). Portanto, a fórmula acima é válida para o ponto da borda r.

Passo 3

Convertendo a massa da galáxia para unidades do Sistema Internacional:
Valor conhecido da massa do Sol:
M_{\odot}=1{,}98847\times10^{30}\\ \mathrm{kg}.
Portanto a massa da galáxia é
M = 1{,}4\times10^{11}\,M_{\odot} =1{,}4\times10^{11}\times1{,}98847\times10^{30}\\ \mathrm{kg}.
Multiplicando os coeficientes:
1{,}4\times1{,}98847=2{,}783858,
e somando expoentes:
M=2{,}783858\times10^{41}\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Converter o raio r de anos-luz para metros:
Valor conhecido de um ano-luz:
1\\ \text{ano-luz}=9{,}4607\times10^{15}\\ \mathrm{m}.
Então
r = 80\,000\\ \text{anos-luz} =8{,}0\times10^{4}\times9{,}4607\times10^{15}\\ \mathrm{m}.
Multiplicando:
8{,}0\times9{,}4607=75{,}6856
e somando expoentes:
r=7{,}56856\times10^{20}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Valores numéricos da constante gravitacional e cálculo do numerador:
Constante gravitacional:
G=6{,}67430\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}}.
Calculemos 2GM:
2GM=2\cdot G\cdot M =2\cdot6{,}67430\times10^{-11}\cdot2{,}783858\times10^{41}.
Multiplicando os coeficientes:
2\cdot6{,}67430\times2{,}783858=1{,}33486\times2{,}783858\approx3{,}71485
e somando expoentes:
2GM\approx3{,}71485\times10^{31}\\ \mathrm{m^{3}/s^{2}}.

Passo 6

Cálculo de v_{\text{esc}}:
Usando a fórmula
v_{\text{esc}}=\sqrt{\dfrac{2GM}{r}},
substituímos os valores numéricos:
v_{\text{esc}}=\sqrt{\dfrac{3{,}71485\times10^{31}}{7{,}56856\times10^{20}}}.
Primeiro calculemos o quociente dentro da raiz:
\dfrac{3{,}71485\times10^{31}}{7{,}56856\times10^{20}}\approx4{,}907\times10^{10}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
Agora a raiz:
v_{\text{esc}}=\sqrt{4{,}907\times10^{10}} =\sqrt{4{,}907}\times10^{5}\approx2{,}215\times10^{5}\\ \mathrm{m/s}.
Convertendo para km/s (dividindo por 10^{3}):
v_{\text{esc}}\approx221{,}5\\ \mathrm{km/s}.
Interpretação rápida (para te confortar): esse valor é da mesma ordem de grandeza da velocidade orbital do Sol em torno do centro da galáxia (cerca de 220\\ \mathrm{km/s}), o que é consistente fisicamente — escapar requer velocidade comparável à velocidade orbital, multiplicada por \sqrt{2}.

Resposta

2{,}22\times10^{5}\\ \mathrm{m/s} (aprox. 222\\ \mathrm{km/s})

Exercícios relacionados