29P. Um corpo está suspenso numa balança de mola num navio que viaja ao longo do equador com velocidade v. (a) Mostre que a leitura da balança será muito próxima de W_{0}(1 \pm 2 \omega v / g), onde \omega é a velocidade angular da Terra e W_{0} é a leitura da balança, quando o navio está em repouso. (b) Explique o sinal de mais ou menos.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte.
  • Informação: um corpo de massa m está suspenso numa balança de mola no equador da Terra.
  • Informação: a Terra gira com velocidade angular \omega. O navio (e a balança) viaja ao longo do equador com velocidade escalar v (medida em relação à superfície terrestre).
  • Informação: W_{0} é a leitura da balança quando o navio está em repouso (relativamente à superfície da Terra).
  • Pedido (a): mostrar que, quando o navio se move, a leitura da balança será muito próxima de \displaystyle W_{0}\bigl(1\pm \tfrac{2\omega v}{g}\bigr).
  • Pedido (b): explicar o significado do sinal “ \pm” (quando usar + e quando usar -).
Passo seguinte: vamos relacionar a leitura da balança com as forças e com a rotação (e com a velocidade do navio).

Passo 2

O que a balança lê? A balança de mola mede a força de tração T no mola (a “força aparente do peso”) que equilibra as outras forças no corpo. No equador, a rotação da Terra produz uma aceleração centrífuga efetiva para fora do eixo que reduz a leitura do peso. Quando o navio não se move (repouso relativo à superfície), o corpo descreve um movimento circular com velocidade angular \omega em torno do eixo da Terra; a aceleração centrífuga (no referencial rotante) tem módulo R\omega^{2}, onde R é o raio da Terra. Vou usar as seguintes notações e definições:
  • m: massa do corpo.
  • g: aceleração da gravidade (valor da gravidade sem considerar o efeito centrífugo).
  • R: raio da Terra.
  • \omega: velocidade angular da Terra.
  • v: velocidade do navio ao longo do equador (positivo quando para leste, por convenção que vamos explicar).
  • W_0: leitura da balança quando o navio está em repouso em relação à superfície.
Agora faço o equilíbrio de forças quando o navio está em repouso.

Passo 3

Equilíbrio quando o navio está em repouso (definição de W_{0}).
No referencial rotante da Terra o corpo está em repouso; aparece a força centrífuga efetiva apontando para fora (no equador isso é vertical para cima) com módulo mR\omega^{2}. O equilíbrio vertical (força para baixo: peso mg; para cima: tração T mais a componente “para cima” da aceleração centrífuga foi já considerada como força fictícia) dá:
T = mg - mR\omega^{2}.
Como a balança lê W_{0}=T nesse caso, obtemos
W_{0} = m\bigl(g - R\omega^{2}\bigr).
Expliquei: mg puxa para baixo; a “força centrífuga” efetivamente reduz o peso por mR\omega^{2}, então a mola precisa puxar menos.

Passo 4

Situação com o navio movendo-se ao longo do equador com velocidade v.
Quando o navio se desloca ao longo do equador com velocidade v (para leste ou oeste), o corpo tem em relação ao eixo da Terra uma velocidade angular total
\Omega = \omega \pm \frac{v}{R},
onde o sinal + corresponde a movimento do navio no mesmo sentido da rotação da Terra (isto é, dirigindo-se para leste), e o sinal - corresponde a movimento no sentido oposto (oeste). O motivo: a velocidade tangencial total em relação ao espaço é R\omega \pm v, então a velocidade angular total em torno do eixo é (R\omega\pm v)/R=\omega\pm v/R.
A aceleração centrífuga efetiva agora vale R\Omega^{2}. Repetindo o equilíbrio de forças (no referencial que gira com a velocidade angular \Omega do corpo):
T = m\bigl(g - R\Omega^{2}\bigr).
Substituindo \Omega:
T = m\Bigl(g - R\bigl(\omega \pm \tfrac{v}{R}\bigr)^{2}\Bigr).
Essa T é a leitura da balança quando o navio se move; vou chamar essa leitura simplesmente de W.

Passo 5

Expandir e linearizar para obter a forma pedida.
Expansão do quadrado:
\bigl(\omega \pm \tfrac{v}{R}\bigr)^{2} = \omega^{2} \pm 2\omega\frac{v}{R} + \frac{v^{2}}{R^{2}}.
Logo
W = m\Bigl(g - R\bigl(\omega^{2} \pm 2\omega\frac{v}{R} + \frac{v^{2}}{R^{2}}\bigr)\Bigr).
Simplificando os termos com R:
W = m\bigl(g - R\omega^{2} \mp 2\omega v - \frac{v^{2}}{R}\bigr).
Compare com W_{0}=m(g-R\omega^{2}). Subtraindo,
W - W_{0} = \mp 2m\omega v - m\frac{v^{2}}{R}.
Agora fazemos duas aproximações justificadas para o “muito próximo” pedido no enunciado:
  1. O termo m v^{2}/R é da ordem mv^{2}/R. Para velocidades v típicas de um navio este termo é muito pequeno em comparação com 2m\omega v e pode ser desprezado (é de segunda ordem em v).
  2. Como R\omega^{2} é muito menor que g (numa aproximação grossa W_{0}\approx mg), podemos substituir W_{0} por mg ao escrever a variação relativa em primeira ordem.
Assim, a variação principal é
W \approx W_{0} \mp 2m\omega v.
Dividindo ambos os lados por W_{0}\approx mg obtemos (em primeira ordem)
\frac{W}{W_{0}} \approx 1 \mp \frac{2\omega v}{g}.
Reescrevendo,
W \approx W_{0}\Bigl(1 \mp \frac{2\omega v}{g}\Bigr).
Isto tem a forma pedida \displaystyle W_{0}\bigl(1\pm\tfrac{2\omega v}{g}\bigr); a diferença é apenas a convenção de sinal: o enunciado deixou \pm genérico — vamos explicar qual caso corresponde a + e qual a -.

Passo 6

Interpretação física e explicação do sinal.
  • Se o navio viaja no mesmo sentido da rotação da Terra (para leste): a velocidade angular total em torno do eixo aumenta ( \Omega=\omega+v/R). Isso aumenta a aceleração centrífuga R\Omega^{2}, que “puxa” mais para cima, reduzindo a tração na mola. Portanto a leitura diminui. No resultado \displaystyle W\approx W_{0}\bigl(1\mp 2\omega v/g\bigr) esse caso corresponde ao sinal -: leitura menor.
  • Se o navio viaja no sentido oposto à rotação da Terra (para oeste): a velocidade angular total diminui ( \Omega=\omega-v/R). A aceleração centrífuga diminui, então há menos “força para cima” e a mola precisa sustentar mais do peso; a leitura aumenta. Esse caso corresponde ao sinal +: leitura maior.
Resumo intuitivo: andar para leste acrescenta rotação (mais “força centrífuga” para fora, menos peso aparente); andar para oeste subtrai rotação (menos centrífuga, maior peso aparente).

Passo 7

Observações finais e validade da aproximação.
  • Desprezamos o termo \displaystyle m\frac{v^{2}}{R} (termo de segunda ordem em v) e aproximamos W_{0}\approx mg porque R\omega^{2}\ll g. Isso é válido para velocidades típicas de navios; o erro é muito pequeno.
  • O resultado é uma aproximação de primeira ordem em v: o efeito prático é pequeno, da ordem de \omega v/g. Para exemplo numérico com v\sim 10\\ \text{m/s} e \omega\sim 7{,}3\times 10^{-5}\\ \text{s}^{-1}, a fração é extremamente pequena.

Resposta

(a) \displaystyle W\approx W_{0}\Bigl(1\pm \frac{2\omega v}{g}\Bigr).
(b) O sinal + corresponde ao navio movendo-se para oeste (sentido oposto à rotação da Terra), quando a leitura aumenta; o sinal - corresponde ao navio movendo-se para leste (mesmo sentido da rotação), quando a leitura diminui.

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