29P. Um corpo está suspenso numa balança de mola num navio que viaja ao longo do equador com velocidade
. (a) Mostre que a leitura da balança será muito próxima de
, onde
é a velocidade angular da Terra e
é a leitura da balança, quando o navio está em repouso. (b) Explique o sinal de mais ou menos.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte.
- Informação: um corpo de massa
está suspenso numa balança de mola no equador da Terra. - Informação: a Terra gira com velocidade angular
. O navio (e a balança) viaja ao longo do equador com velocidade escalar (medida em relação à superfície terrestre). - Informação:
é a leitura da balança quando o navio está em repouso (relativamente à superfície da Terra). - Pedido (a): mostrar que, quando o navio se move, a leitura da balança será muito próxima de
. - Pedido (b): explicar o significado do sinal “
” (quando usar e quando usar ).
Passo seguinte: vamos relacionar a leitura da balança com as forças e com a rotação (e com a velocidade do navio).
Passo 2
O que a balança lê? A balança de mola mede a força de tração
no mola (a “força aparente do peso”) que equilibra as outras forças no corpo. No equador, a rotação da Terra produz uma aceleração centrífuga efetiva para fora do eixo que reduz a leitura do peso. Quando o navio não se move (repouso relativo à superfície), o corpo descreve um movimento circular com velocidade angular
em torno do eixo da Terra; a aceleração centrífuga (no referencial rotante) tem módulo
, onde
é o raio da Terra. Vou usar as seguintes notações e definições:
-
: massa do corpo. -
: aceleração da gravidade (valor da gravidade sem considerar o efeito centrífugo). -
: raio da Terra. -
: velocidade angular da Terra. -
: velocidade do navio ao longo do equador (positivo quando para leste, por convenção que vamos explicar). -
: leitura da balança quando o navio está em repouso em relação à superfície.
Agora faço o equilíbrio de forças quando o navio está em repouso.
Passo 3
Equilíbrio quando o navio está em repouso (definição de
).
No referencial rotante da Terra o corpo está em repouso; aparece a força centrífuga efetiva apontando para fora (no equador isso é vertical para cima) com módulo
. O equilíbrio vertical (força para baixo: peso
; para cima: tração
mais a componente “para cima” da aceleração centrífuga foi já considerada como força fictícia) dá:
Como a balança lê
nesse caso, obtemos
Expliquei:
puxa para baixo; a “força centrífuga” efetivamente reduz o peso por
, então a mola precisa puxar menos.
Passo 4
Situação com o navio movendo-se ao longo do equador com velocidade
.
Quando o navio se desloca ao longo do equador com velocidade
(para leste ou oeste), o corpo tem em relação ao eixo da Terra uma velocidade angular total
onde o sinal
corresponde a movimento do navio no mesmo sentido da rotação da Terra (isto é, dirigindo-se para leste), e o sinal
corresponde a movimento no sentido oposto (oeste). O motivo: a velocidade tangencial total em relação ao espaço é
, então a velocidade angular total em torno do eixo é
.
A aceleração centrífuga efetiva agora vale
. Repetindo o equilíbrio de forças (no referencial que gira com a velocidade angular
do corpo):
Substituindo
:
Essa
é a leitura da balança quando o navio se move; vou chamar essa leitura simplesmente de
.
Passo 5
Expandir e linearizar para obter a forma pedida.
Expansão do quadrado:
Logo
Simplificando os termos com
:
Compare com
. Subtraindo,
Agora fazemos duas aproximações justificadas para o “muito próximo” pedido no enunciado:
- O termo
é da ordem . Para velocidades típicas de um navio este termo é muito pequeno em comparação com e pode ser desprezado (é de segunda ordem em ). - Como
é muito menor que (numa aproximação grossa ), podemos substituir por ao escrever a variação relativa em primeira ordem.
Assim, a variação principal é
Dividindo ambos os lados por
obtemos (em primeira ordem)
Reescrevendo,
Isto tem a forma pedida
; a diferença é apenas a convenção de sinal: o enunciado deixou
genérico — vamos explicar qual caso corresponde a
e qual a
.
Passo 6
Interpretação física e explicação do sinal.
- Se o navio viaja no mesmo sentido da rotação da Terra (para leste): a velocidade angular total em torno do eixo aumenta (
). Isso aumenta a aceleração centrífuga , que “puxa” mais para cima, reduzindo a tração na mola. Portanto a leitura diminui. No resultado esse caso corresponde ao sinal : leitura menor. - Se o navio viaja no sentido oposto à rotação da Terra (para oeste): a velocidade angular total diminui (
). A aceleração centrífuga diminui, então há menos “força para cima” e a mola precisa sustentar mais do peso; a leitura aumenta. Esse caso corresponde ao sinal : leitura maior.
Resumo intuitivo: andar para leste acrescenta rotação (mais “força centrífuga” para fora, menos peso aparente); andar para oeste subtrai rotação (menos centrífuga, maior peso aparente).
Passo 7
Observações finais e validade da aproximação.
- Desprezamos o termo
(termo de segunda ordem em ) e aproximamos porque . Isso é válido para velocidades típicas de navios; o erro é muito pequeno. - O resultado é uma aproximação de primeira ordem em
: o efeito prático é pequeno, da ordem de . Para exemplo numérico com e , a fração é extremamente pequena.
Resposta
(a)
.
(b) O sinal
corresponde ao navio movendo-se para oeste (sentido oposto à rotação da Terra), quando a leitura aumenta; o sinal
corresponde ao navio movendo-se para leste (mesmo sentido da rotação), quando a leitura diminui.