Seu peso é 120 lb na calçada, do lado de fora do World Trade Center, em New York. Suponha que você vai agora para o alto de uma das torres, a 1.350 pés de altura. Ignorando a rotação da Terra, de quanto diminui o seu peso, pelo fato de estar um pouco mais distante do centro da Terra?

Passo 1

O enunciado dá: você pesa 120 lb quando está na calçada (ou seja, na superfície da Terra) e sobe até a altura h=1350 ft (uma das torres tem essa altura). Pede-se: de quanto diminui o seu peso devido a estar um pouco mais distante do centro da Terra, ignorando a rotação da Terra. Informação adicional que usarei (valor padrão aproximado): o raio médio da Terra será tomado como R=3960 milhas. Vou converter tudo para pés para ficar consistente nas unidades.

Passo 2

Conceito e fórmula que usamos (aula rápida): a força gravitacional que a Terra exerce sobre você é dada pela Lei da Gravitação Universal de Newton:
F = G \frac{M m}{r^2},
onde G é a constante gravitacional, M é a massa da Terra, m é a sua massa e r é a distância do seu centro de massa ao centro da Terra. Na prática, o seu peso é exatamente essa força F. No nível prático da prova, não precisamos do valor de G, M ou m separadamente: bastará usar que o peso é proporcional a 1/r^2. Se W_0 é o peso na superfície (quando r=R), então o peso a uma altura h acima da superfície é
W(h)=W_0\left(\frac{R}{R+h}\right)^2.
Aqui W_0 é o peso inicial (no chão), R é o raio da Terra e h é a altura acima da superfície.

Passo 3

Derivando a expressão acima de forma bem direta: na superfície
W_0 = G\frac{M m}{R^2}.
A h pés de altura a distância ao centro é R+h, então
W(h) = G\frac{M m}{(R+h)^2} = W_0\frac{R^2}{(R+h)^2} = W_0\left(\frac{R}{R+h}\right)^2.
A diminuição absoluta do peso é
\Delta W = W_0 - W(h) = W_0\left[1 - \left(\frac{R}{R+h}\right)^2\right].

Passo 4

Conversão de unidades e valores numéricos que vou usar (mostrando as contas): tomo o raio médio da Terra R=3960 milhas e 1 milha =5280 ft. Então
R = 3960\cdot 5280 = 20908800\\ \text{ft}.
A altura é h=1350 ft, e o peso na superfície é W_0=120 lb.

Passo 5

Calcular a razão h/R (pequena quantidade que simplifica as contas):
\frac{h}{R}=\frac{1350}{20908800}\approx 0,00006456.
Como \frac{h}{R} é muito pequeno, podemos usar a aproximação em série (binomial) para \left(1+\varepsilon\right)^{-2} com \varepsilon=\frac{h}{R}:
\left(\frac{R}{R+h}\right)^2 = \frac{1}{(1+\varepsilon)^2}\approx 1-2\varepsilon
quando \varepsilon é pequeno. Essa aproximação vem da expansão (1+\varepsilon)^{-2}=1-2\varepsilon+3\varepsilon^2-\dots — para nós os termos de ordem \varepsilon^2 são insignificantes.

Passo 6

Aplicar a aproximação para obter a diminuição \Delta W:
\Delta W \approx W_0\bigl[1-(1-2\varepsilon)\bigr]=W_0(2\varepsilon)=2W_0\frac{h}{R}.
Substituindo números:
\Delta W \approx 2\cdot 120\cdot 0,00006456 \approx 0,0154944\\ \text{lb}.
Portanto o seu peso diminui cerca de 0,0154944 lb.

Passo 7

Converter esse valor para onças (opcional, para termos uma noção mais intuitiva): 1 lb =16 oz, então
0,0154944\\ \text{lb}\times 16 \approx 0,2479\\ \text{oz}\approx 0,248\\ \text{oz}.
Também posso dar o peso final aproximado:
W(h)\approx 120-0,0154944\approx 119,9845056\\ \text{lb}.
E a mudança percentual:
\frac{\Delta W}{W_0}\approx 0,00012912\approx 0,012912\%.

Resposta

\Delta W\approx 0,0155\\ \text{lb} (aprox. \,0,248\\ \text{oz}; redução percentual \approx 0,0129\%).

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