Seu peso é 120 lb na calçada, do lado de fora do World Trade Center, em New York. Suponha que você vai agora para o alto de uma das torres, a 1.350 pés de altura. Ignorando a rotação da Terra, de quanto diminui o seu peso, pelo fato de estar um pouco mais distante do centro da Terra?
Passo 1
O enunciado dá: você pesa
lb quando está na calçada (ou seja, na superfície da Terra) e sobe até a altura
ft (uma das torres tem essa altura). Pede-se: de quanto diminui o seu peso devido a estar um pouco mais distante do centro da Terra, ignorando a rotação da Terra. Informação adicional que usarei (valor padrão aproximado): o raio médio da Terra será tomado como
milhas. Vou converter tudo para pés para ficar consistente nas unidades.
Passo 2
Conceito e fórmula que usamos (aula rápida): a força gravitacional que a Terra exerce sobre você é dada pela Lei da Gravitação Universal de Newton:
onde
é a constante gravitacional,
é a massa da Terra,
é a sua massa e
é a distância do seu centro de massa ao centro da Terra. Na prática, o seu peso é exatamente essa força
. No nível prático da prova, não precisamos do valor de
,
ou
separadamente: bastará usar que o peso é proporcional a
. Se
é o peso na superfície (quando
), então o peso a uma altura
acima da superfície é
Aqui
é o peso inicial (no chão),
é o raio da Terra e
é a altura acima da superfície.
Passo 3
Derivando a expressão acima de forma bem direta: na superfície
A
pés de altura a distância ao centro é
, então
A diminuição absoluta do peso é
Passo 4
Conversão de unidades e valores numéricos que vou usar (mostrando as contas): tomo o raio médio da Terra
milhas e
milha
ft. Então
A altura é
ft, e o peso na superfície é
lb.
Passo 5
Calcular a razão
(pequena quantidade que simplifica as contas):
Como
é muito pequeno, podemos usar a aproximação em série (binomial) para
com
:
quando
é pequeno. Essa aproximação vem da expansão
— para nós os termos de ordem
são insignificantes.
Passo 6
Aplicar a aproximação para obter a diminuição
:
Substituindo números:
Portanto o seu peso diminui cerca de
lb.
Passo 7
Converter esse valor para onças (opcional, para termos uma noção mais intuitiva):
lb
oz, então
Também posso dar o peso final aproximado:
E a mudança percentual: