P2.42 Deseja-se construir uma balança de banheiro cuja deflexão da plataforma tem
quando pesa um homem 91 kg . Se o movimento for criticamente amortecido, determine a constante
da mola que deve ser usada e a constante de amortecimento
. Mostre que o movimento será superamortecido para uma pessoa mais leve. Se um homem de 91 kg subir na balança, qual a força máxima para cima que a plataforma da balança exercerá sobre os pés dele, enquanto a plataforma voltar para a posição
de equilibrio?
de equilibrio?
Passo 1
Beleza, o exercício é sobre um sistema massa-mola-amortecedor (balança de banheiro):
- Conteúdo: oscilações amortecidas e resposta a um degrau (peso do homem).
- Precisamos achar a constante da mola
(a partir do deslocamento estático), o coeficiente de amortecimento crítico , verificar superamortecimento se mudarmos a massa, e calcular a força máxima que a plataforma aplica nos pés do cara de 91 kg.
Passo 2
Encontrar
pelo equilíbrio estático.
- Na posição de repouso com o homem em pé, a mola sustenta o peso:
- Sabemos
,kg, ,m/s² e ,cm ,m. - Logo
Passo 3
Achar
para amortecimento crítico.
- Em oscilações amortecidas, o amortecimento crítico ocorre quando
- Substituindo
,N/m e ,kg:
Passo 4
Mostrar que fica superamortecido para pessoa mais leve.
- Critério geral: o sistema é superamortecido se
- Aqui
. Se a nova massa , então ou seja, passa a ser superamortecido.
Passo 5
Calcular a força máxima que a plataforma exerce sobre os pés (resposta ao “degrau” de peso).
- A equação de movimento com força peso constante
é - Num sistema criticamente amortecido (
) e entrada degrau, não ocorre ultrapassagem do valor estático: não há overshoot. - Portanto, a força transmitida pela mola + amortecedor (força sobre os pés) cresce suavemente até
- Numericamente,
Resposta
k ≈ 3,57×10^4 N/m
b ≈ 3,6×10^3 N·s/m
Pessoa mais leve → superamortecido
Força máxima na plataforma (91 kg) ≈ 8,92×10^2 N
b ≈ 3,6×10^3 N·s/m
Pessoa mais leve → superamortecido
Força máxima na plataforma (91 kg) ≈ 8,92×10^2 N