P2.42 Deseja-se construir uma balança de banheiro cuja deflexão da plataforma tem 2,5 cm quando pesa um homem 91 kg . Se o movimento for criticamente amortecido, determine a constante k da mola que deve ser usada e a constante de amortecimento b. Mostre que o movimento será superamortecido para uma pessoa mais leve. Se um homem de 91 kg subir na balança, qual a força máxima para cima que a plataforma da balança exercerá sobre os pés dele, enquanto a plataforma voltar para a posição
de equilibrio?

Passo 1

Beleza, o exercício é sobre um sistema massa-mola-amortecedor (balança de banheiro):
  • Conteúdo: oscilações amortecidas e resposta a um degrau (peso do homem).
  • Precisamos achar a constante da mola (a partir do deslocamento estático), o coeficiente de amortecimento crítico , verificar superamortecimento se mudarmos a massa, e calcular a força máxima que a plataforma aplica nos pés do cara de 91 kg.

Passo 2

Encontrar k,xrm eq ;=; m,g pelo equilíbrio estático.
  1. Na posição de repouso com o homem em pé, a mola sustenta o peso: k ;=;m,gxrm eq ;=;91cdot9,80,025 ;approx;3,57times10^4;N/m
  2. Sabemos ,kg, ,m/s² e ,cm ,m.
  3. Logo

Passo 3

Achar b ;=;2raizk,m para amortecimento crítico.
  1. Em oscilações amortecidas, o amortecimento crítico ocorre quando b = 2raiz3,57times10^4 ,times,91 ;approx;2raiz3,25times10^6 ;approx;2cdot1,80times10^3 ;=;3,6times10^3;N!·s/m
  2. Substituindo ,N/m e ,kg:

Passo 4

Mostrar que fica superamortecido para pessoa mais leve.
  1. Critério geral: o sistema é superamortecido se b^2 > 4,k,mrm nova
  2. Aqui 4,k,91 ;>;4,k,mrm nova Longrightarrow b^2 > 4k,mrm nova, . Se a nova massa , então ou seja, passa a ser superamortecido.

Passo 5

Calcular a força máxima que a plataforma exerce sobre os pés (resposta ao “degrau” de peso).
  1. A equação de movimento com força peso constante m,x'' + b,x' + k,x = m,g é Fmax = k,xrm eq = m,g
  2. Num sistema criticamente amortecido ( Fmax = 91;kgtimes9,8;m/s^2 approx8,92times10^2;N ) e entrada degrau, não ocorre ultrapassagem do valor estático: não há overshoot.
  3. Portanto, a força transmitida pela mola + amortecedor (força sobre os pés) cresce suavemente até
  4. Numericamente,

Resposta

k ≈ 3,57×10^4 N/m
b ≈ 3,6×10^3 N·s/m
Pessoa mais leve → superamortecido
Força máxima na plataforma (91 kg) ≈ 8,92×10^2 N

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