P2.38 Um vagão de carga pesando
rola livremente e chega ao final de sua linha à velocidade de
. No final, existe um batente que consiste numa mola com
. Considerando que a força de atrito seja proporcional à velocidade, determine a constante de amortecimento
para o amortecimento crítico. Esboce o deslocamento
e determine a distância máxima em que a mola é comprimida (para
). Mostre que
, o vagão parará, mas se
, o vagão será lançado de volta e se deslocará em sentido contrário sobre os trilhos. (Note que o vagão não se encontra preso à mola. Durante o tempo em que ele está em contato com a mola, ele se move de acordo com a equação de oscilador harmônico, mas, após peder o contato, ele se moverá sobre os trilhos em sentido contrário ao inicial.)
Passo 1
Beleza, resumindo: a gente tem um vagão de massa
que chega ao batente com velocidade inicial
O batente é uma mola de constante
e ainda existe uma força de atrito proporcional à velocidade,
.
O conteúdo aqui é o oscilador harmônico amortecido. Vamos precisar:
O conteúdo aqui é o oscilador harmônico amortecido. Vamos precisar:
- montar a equação diferencial
- achar o amortecimento crítico
- resolver pro caso crítico, achar
, esboçar e achar a compressão máxima - discutir quando o vagão volta (bounces) ou fica “grudado” (overdamped).
Passo 2
A equação do oscilador amortecido é
O amortecimento crítico acontece quando as raízes do polinômio característico se repetem, ou seja
Vamos calcular:
Passo 3
No caso crítico (
), definimos
A solução geral é
Como o vagão atinge a mola em
com
, temos:
-
. -
, então em :
.
Logo
Passo 4
Esboço de
no caso crítico:
- começa em 0, cresce até um pico, depois decai para zero sem oscilar.
- graficamente é uma curva que faz “bolinha” num ponto só e retorna exponencialmente.
Passo 5
Para achar a compressão máxima, fazemos
:
Então
Passo 6
Agora, sobre o vagão “voltar” ou “parar sem voltar”:
- Se
(subamortecido), as raízes são complexas e oscila, então passa de e o vagão é lançado de volta. - Se
(crítico), decai monoticamente mas em tempo finito muda sinal, então também ele acaba se soltando e voltando. - Se
(sobreamortecido), as raízes são reais e negativas e nunca inverte o sinal (decai para zero sem cruzar). A velocidade só vai a zero no infinito, de modo que, fisicamente, ele não “rebate” de volta.
Resposta
b_c = 2,53×10^4 kg/s
Solução crítica: x(t)=2 t e^{−1,2649 t}
Compressão máxima: x_max≈0,58 m
Para b≤b_c: o vagão eventualmente inverte o movimento e volta; para b>b_c: ele para sem rebater.
Solução crítica: x(t)=2 t e^{−1,2649 t}
Compressão máxima: x_max≈0,58 m
Para b≤b_c: o vagão eventualmente inverte o movimento e volta; para b>b_c: ele para sem rebater.