P2.38 Um vagão de carga pesando 10^4 kg rola livremente e chega ao final de sua linha à velocidade de 2 m / s. No final, existe um batente que consiste numa mola com kappa=1,6 cdot 10^4 kg / s^2. Considerando que a força de atrito seja proporcional à velocidade, determine a constante de amortecimento bc para o amortecimento crítico. Esboce o deslocamento x(t) e determine a distância máxima em que a mola é comprimida (para b=bc ). Mostre que b <= bc, o vagão parará, mas se b <= bc, o vagão será lançado de volta e se deslocará em sentido contrário sobre os trilhos. (Note que o vagão não se encontra preso à mola. Durante o tempo em que ele está em contato com a mola, ele se move de acordo com a equação de oscilador harmônico, mas, após peder o contato, ele se moverá sobre os trilhos em sentido contrário ao inicial.)

Passo 1

Beleza, resumindo: a gente tem um vagão de massa
m = 10^4 kg
que chega ao batente com velocidade inicial
v(0) = 2 m/s
O batente é uma mola de constante
kappa = 1,6times10^4 kg/s^2,
e ainda existe uma força de atrito proporcional à velocidade, .
O conteúdo aqui é o oscilador harmônico amortecido. Vamos precisar:
  1. montar a equação diferencial
  2. achar o amortecimento crítico
  3. resolver pro caso crítico, achar , esboçar e achar a compressão máxima
  4. discutir quando o vagão volta (bounces) ou fica “grudado” (overdamped).

Passo 2

A equação do oscilador amortecido é
m,ddot x + b,dot x + kappa,x = 0
O amortecimento crítico acontece quando as raízes do polinômio característico se repetem, ou seja
bc = 2raizm,kappa
Vamos calcular:
bc = 2raiz(10^4),(1,6times10^4) = 2raiz1,6times10^8 = 2times1,2649times10^4 approx 2,53times10^4 kg/s

Passo 3

No caso crítico ( omega = raizkappa/m = raiz1,6times10^410^4 = raiz1,6 approx1,2649 s^-1 ), definimos
x(t) = (C1 + C2,t),e^-omega t
A solução geral é
x(t) = 2,t,e^-omega t
Como o vagão atinge a mola em com , temos:
  1. .
  2. , então em :
    .
    Logo

Passo 4

Esboço de no caso crítico:
  • começa em 0, cresce até um pico, depois decai para zero sem oscilar.
  • graficamente é uma curva que faz “bolinha” num ponto só e retorna exponencialmente.

Passo 5

Para achar a compressão máxima, fazemos dot x(t) = 2e^-omega t(1 - omega t) = 0 Rightarrow tmax = 1omega :
xmax = x!l(tfrac1omegar) = 21omega e^-1 = 2omega e = 21,2649times2,7183 approx0,58 m
Então

Passo 6

Agora, sobre o vagão “voltar” ou “parar sem voltar”:
  • Se (subamortecido), as raízes são complexas e oscila, então passa de e o vagão é lançado de volta.
  • Se (crítico), decai monoticamente mas em tempo finito muda sinal, então também ele acaba se soltando e voltando.
  • Se (sobreamortecido), as raízes são reais e negativas e nunca inverte o sinal (decai para zero sem cruzar). A velocidade só vai a zero no infinito, de modo que, fisicamente, ele não “rebate” de volta.

Resposta

b_c = 2,53×10^4 kg/s
Solução crítica: x(t)=2 t e^{−1,2649 t}
Compressão máxima: x_max≈0,58 m
Para b≤b_c: o vagão eventualmente inverte o movimento e volta; para b>b_c: ele para sem rebater.

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