P2.46 Um oscilador harmônico subamortecido é submetido à ação de uma força aplicada
Determine uma solução particular expressando
como parte real de uma função exponencial complexa e procurando uma solução para
que tenha a mesma dependência exponencial do tempo.
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que temos um oscilador harmônico subamortecido (ou seja, massa m, amortecimento c e constante elástica k, com
) sujeito a uma força forçante
O conteúdo que vamos usar é a técnica de “complexificar” a força e a solução particular: escrevemos tudo como exponencial complexa, achamos a constante complexa que resolve a equação algébrica, e por fim voltamos ao real (parte real). Para isso precisamos entender:
- Euler e a ideia de “parte real” de
. - Resolver ODEs lineares de 2º ordem aplicando
.
Passo 2
Primeiro transformamos a força em expressão complexa. Pela fórmula de Euler:
Então podemos escrever
Passo 3
Agora a solução particular a gente supõe também com esse mesmo “modo” de dependência exponencial no tempo. Ou seja, vamos tentar
onde
é uma constante complexa a ser determinada.
Passo 4
A equação do oscilador forçado é
Se você substituir
com
, cada derivada traz um fator
. Logo
Do outro lado, a força é
(antes de pegar a parte real).
Passo 5
Igualando as duas coisas (e cancelando o
, que nunca é zero), a gente obtém a “equação algébrica”:
Então
Resposta
A solução particular do problema é