P2.46 Um oscilador harmônico subamortecido é submetido à ação de uma força aplicada
F=Fo e^-a t cos (omega t+varphio)
Determine uma solução particular expressando F como parte real de uma função exponencial complexa e procurando uma solução para x que tenha a mesma dependência exponencial do tempo.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos um oscilador harmônico subamortecido (ou seja, massa m, amortecimento c e constante elástica k, com F(t)=F0,e^-a tcos!l(omega t+varphi0r) ) sujeito a uma força forçante
O conteúdo que vamos usar é a técnica de “complexificar” a força e a solução particular: escrevemos tudo como exponencial complexa, achamos a constante complexa que resolve a equação algébrica, e por fim voltamos ao real (parte real). Para isso precisamos entender:
  1. Euler e a ideia de “parte real” de .
  2. Resolver ODEs lineares de 2º ordem aplicando .

Passo 2

Primeiro transformamos a força em expressão complexa. Pela fórmula de Euler:
cos(omega t+varphi0)=Ree^i(omega t+varphi0)
Então podemos escrever
F(t)=RelF0e^-a te^i(omega t+varphi0)r =RelF0e^ivarphi0,e^(-a+iomega)tr

Passo 3

Agora a solução particular a gente supõe também com esse mesmo “modo” de dependência exponencial no tempo. Ou seja, vamos tentar
xp(t)=RelX,e^(-a+iomega)tr,
onde é uma constante complexa a ser determinada.

Passo 4

A equação do oscilador forçado é
m,x''+c,x'+k,x=F(t)
Se você substituir m,(s^2 X e^st)+c,(s X e^st)+k,(X e^st) =l(m s^2+c s+kr),X e^st com , cada derivada traz um fator . Logo
Do outro lado, a força é (antes de pegar a parte real).

Passo 5

Igualando as duas coisas (e cancelando o l(m s^2+c s+kr),X = F0e^ivarphi0, com s=-a+iomega , que nunca é zero), a gente obtém a “equação algébrica”:
X=F0e^ivarphi0m(-a+iomega)^2 ;+;c(-a+iomega);+;k
Então

Resposta

A solução particular do problema é
boxed xp(t) =Re!gl, F0,e^ivarphi0m(-a+iomega)^2 + c(-a+iomega) + k ; e^(-a+iomega)t gr

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