P2.39 Uma massa submetida a uma força restauradora linear
e a um amortecimento
desloca-se a uma distância
da posição de equilibrio sendo largada com velocidade inicial nula. Determine os movimentos para os casos de subamortecimento, amortecimento crítico e superamortecimento.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que uma massa sofre duas forças: a restauradora
(tipo mola) e o amortecimento
. Ela parte de
com
. Nosso conteúdo é EDO linear homogênea de 2ª ordem e vamos usar a teoria da equação característica para achar a solução em cada caso: subamortecimento, crítico e superamortecimento.
Passo 2
Escrevendo a EDO de Newton:
A ideia é tentar
Definimos o discriminante
A partir do sinal de
-
-
-
Passo 3
(Subamortecimento,
)
- As raízes são
2) A solução geral é
- Impomos
.
E - Logo
Passo 4
(Amortecimento crítico,
)
- Aqui
. A raiz é dupla . - A solução geral vira
3)
4) Então
Passo 5
(Superamortecimento,
)
- As raízes reais são
2) Solução geral:
- Condições iniciais:
x(0)=x_0 ⇒,
v(0)=0 ⇒.
Resolvendo o sistema:
4) Portanto
Resposta
Subamortecido (
):
Críticamente amortecido (
Superamortecido (
):
$
```