P2.39 Uma massa submetida a uma força restauradora linear -k x e a um amortecimento -b v desloca-se a uma distância x0 da posição de equilibrio sendo largada com velocidade inicial nula. Determine os movimentos para os casos de subamortecimento, amortecimento crítico e superamortecimento.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que uma massa sofre duas forças: a restauradora -k,x (tipo mola) e o amortecimento -b,v. Ela parte de x(0)=x0 com v(0)=0. Nosso conteúdo é EDO linear homogênea de 2ª ordem e vamos usar a teoria da equação característica para achar a solução em cada caso: subamortecimento, crítico e superamortecimento.

Passo 2

Escrevendo a EDO de Newton:
m,ddot x + b,dot x + k,x = 0
A ideia é tentar x(t)=e^r t, o que leva à equação característica
m,r^2 + b,r + k = 0
Definimos o discriminante
De
A partir do sinal de De temos 3 cenários:
- De: raízes complexas → subamortecimento.
- De: raiz dupla → amortecimento crítico.
- De0: raízes reais distintas → superamortecimento.

Passo 3

(Subamortecimento, De)
  1. As raízes são
r = -b2mpm i,omega',, onde;omega'=raizkm-l(b2mr)^2
2) A solução geral é
x(t)=e^-b2mtl(C1cos(omega't)+C2sin(omega't)r)
  1. Impomos x(0)=x0implies C1=x0.
    E v(0)=dot x(0)=0implies -b2mx0+omega',C2=0implies C2=b2m,omega',x0
  2. Logo
boxedx(t)=x0,e^-b2mtl[cos(omega't)+tfracb2m,omega'sin(omega't)r]

Passo 4

(Amortecimento crítico, De)
  1. Aqui b^2=4mkimplies alpha=b2m=raizkm. A raiz é dupla r=-alpha.
  2. A solução geral vira
x(t)=(C1 + C2,t),e^-alpha t
3) x(0)=x0implies C1=x0.
v(0)=0implies -alpha x0 + C2=0implies C2=alpha,x0
4) Então
boxedx(t)=x0,(1+alpha,t),e^-alpha t, alpha=b2m

Passo 5

(Superamortecimento, De0)
  1. As raízes reais são
r1,2=-bpmraizb^2-4mk2m, r1
2) Solução geral:
x(t)=C1,e^r1 t+C2,e^r2 t
  1. Condições iniciais:
    x(0)=x_0 ⇒ C1 + C2 = x0,
    v(0)=0 ⇒ C1 r1 + C2 r2 = 0.
    Resolvendo o sistema: C1=x0,r2r2-r1, C2=-x0,r1r2-r1
    4) Portanto
    boxedx(t)=x0,r2r2-r1,e^r1 t-x0,r1r2-r1,e^r2 t

Resposta

Subamortecido ( b^2<4mk):
x(t)=x0,e^-b2mtl[cos(omega't)+tfracb2m,omega'sin(omega't)r]
Críticamente amortecido ( b^2=4mk):
x(t)=x0,(1+tfracb2m,t),e^-b2mt
Superamortecido ( b^2>4mk):
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