( ) 42. Quais as diferenças entre as descrições espacial e material com base na variação da massa do sistema, da dilatação do sistema e da entrada e saída de matéria no mesmo?

Passo 1

O enunciado pede para comparar a descrição material (também chamada de Lagrangeana) com a descrição espacial (ou Euleriana) de um sistema contínuo. O que vamos analisar em cada caso são três aspectos:
1. Variação da massa do sistema,
2. Dilatação (variação de volume) do sistema,
3. Entrada e saída de matéria no sistema.

Passo 2

Descrição material (Lagrangeana): por definição o “sistema material” é formado pelas mesmas partículas de fluido ao longo do tempo, ou seja, não entra nem sai massa. Consequência:
– A massa m do sistema material é constante ( \dot m=0).
– Ele sofre deformação e dilata ou contrai acompanhando o movimento, pois a malha de partículas se estica ou se comprime.
– Não há fluxo de matéria através da fronteira do sistema, já que ela se move junto com as partículas.

Passo 3

Descrição espacial (Euleriana): adotamos um volume de controle fixo no espaço (região que não se deforma). Nesse caso:
– A massa dentro do volume de controle pode variar ao longo do tempo, pois fluido entra e sai de suas superfícies. Em geral
\frac{dm_{CV}}{dt} = \dot m_{\text{entrada}} - \dot m_{\text{saída}}í
– Não há dilatação do volume de controle, porque a região no espaço permanece com forma e tamanho fixos.
– Existe fluxo de matéria através da fronteira do volume de controle, e é justamente isso que gera a variação de massa interna.

Resposta

Descrição material (Lagrangeana)
\bullet Massa constante ( \dot m=0).
\bullet Sistema dilata ou contrai acompanhando o movimento do fluido.
\bullet Não ocorre entrada nem saída de matéria pela fronteira móvel.
Descrição espacial (Euleriana)
\bullet Massa no volume de controle pode variar conforme \dot m_{\text{in}}-\dot m_{\text{out}}.
\bullet Volume de controle fixo no espaço (sem dilatação).
\bullet Matéria entra e sai pelas superfícies do volume de controle.

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