3.42 Uma esfera oca, r_{1} \leq r \leq r_{2}, é mantida em uma temperatura uniforme \mathbf{T}_{1} na superfície interna em r=r_{1}, e à temperatura T_{2} na superfície externa r=r_{2}. Mostre que a taxa total de transferência de calor Q através da esfera é dada por
Q=\frac{T_{1}-T_{2}}{R} \quad \mathrm{~W}
onde a resistẻncia térmica R da esfera é
R=\frac{r_{2}-r_{1}}{k A_{m}} \quad A_{m}=\sqrt{\left(4 \pi r_{1}^{2}\right)\left(4 \pi r_{2}^{2}\right)} \equiv \sqrt{A_{1} A_{2}}

Passo 1

O enunciado dá uma casca esférica oca ocupando r_{1}\le r\le r_{2}. As superfícies esféricas têm temperaturas uniformes:
  • na superfície interna r=r_{1} a temperatura é T_{1};
  • na superfície externa r=r_{2} a temperatura é T_{2}.
A condutividade térmica do material é k (assumida constante). Pede-se para mostrar que a taxa total de transferência de calor Q através da casca é da forma
Q=\frac{T_{1}-T_{2}}{R},
onde a resistência térmica R é
R=\frac{r_{2}-r_{1}}{k A_{m}}\quad\text{com}\quad A_{m}=\sqrt{\left(4\pi r_{1}^{2}\right)\left(4\pi r_{2}^{2}\right)}=\sqrt{A_{1}A_{2}}.

Passo 2

Conceito e lei básica (a aula rápida antes da conta): para condução de calor em regime estacionário, sem geração de calor interna e com simetria esférica, o fluxo de calor radial é governado pela Lei de Fourier. Em notação escalar para fluxo radial:
q_r=-k\frac{dT}{dr},
onde q_r é a densidade de fluxo de calor (potência por unidade de área, em W/m ^2), k é a condutividade térmica (W/m·K) e dT/dr é o gradiente radial de temperatura. A taxa total de calor que atravessa uma esfera de raio r é
Q(r)=q_r\cdot A(r),
onde A(r) é a área da superfície esférica de raio r. Para uma esfera:
A(r)=4\pi r^{2}.

Passo 3

Como o problema é estacionário e não há geração, a taxa total de calor Q é a mesma através de qualquer superfície esférica concêntrica (isto é, Q não depende de r). Portanto, usando Fourier e A(r):
Q=-k\,A(r)\,\frac{dT}{dr}=-k\,(4\pi r^{2})\frac{dT}{dr}.
Isolando o derivado:
\frac{dT}{dr}=-\frac{Q}{4\pi k}\frac{1}{r^{2}}.

Passo 4

Integramos essa expressão entre r_{1} e r_{2}, aplicando as condições de contorno T(r_{1})=T_{1} e T(r_{2})=T_{2}. Escrevendo a integral:
\int_{T_{1}}^{T_{2}} dT = -\frac{Q}{4\pi k}\int_{r_{1}}^{r_{2}}\frac{dr}{r^{2}}.
Calcule a integral no lado direito:
\int_{r_{1}}^{r_{2}}\frac{dr}{r^{2}}=\left(-\frac{1}{r}\right)_{r_{1}}^{r_{2}}=-\frac{1}{r_{2}}+\frac{1}{r_{1}}=\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}.
Portanto, o lado esquerdo dá T_{2}-T_{1}, então
T_{2}-T_{1} = -\frac{Q}{4\pi k}\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\right).
Multiplicando por -1 e reorganizando:
T_{1}-T_{2} = \frac{Q}{4\pi k}\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\right).

Passo 5

Isolar Q. Observe que
\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}=\frac{r_{2}-r_{1}}{r_{1}r_{2}}.
Substituindo:
T_{1}-T_{2} = \frac{Q}{4\pi k}\cdot\frac{r_{2}-r_{1}}{r_{1}r_{2}}.
Logo
Q = (T_{1}-T_{2})\cdot\frac{4\pi k r_{1}r_{2}}{r_{2}-r_{1}}.
Escrevendo na forma Q=(T_{1}-T_{2})/R, obtemos
R=\frac{r_{2}-r_{1}}{4\pi k r_{1}r_{2}}.

Passo 6

Mostrar que essa expressão coincide com a forma pedida usando A_{m}. Calcule A_{1} e A_{2}:
A_{1}=4\pi r_{1}^{2},\qquad A_{2}=4\pi r_{2}^{2}.
O produto A_{1}A_{2}=(4\pi r_{1}^{2})(4\pi r_{2}^{2})=(4\pi)^{2}r_{1}^{2}r_{2}^{2}. Portanto a média geométrica
A_{m}=\sqrt{A_{1}A_{2}}=\sqrt{(4\pi)^{2}r_{1}^{2}r_{2}^{2}}=4\pi r_{1}r_{2}.
Substituindo 4\pi r_{1}r_{2}=A_{m} na expressão de R:
R=\frac{r_{2}-r_{1}}{k A_{m}}.
Assim
Q=\frac{T_{1}-T_{2}}{R}
com R conforme pedido.

Passo 7

Comentário físico e alternativa curta: a resistência térmica foi obtida integrando a resistência elementar
dR=\frac{dr}{kA(r)}=\frac{dr}{4\pi k r^{2}},
entre r_{1} e r_{2}. Essa integral produz o mesmo resultado:
R=\int_{r_{1}}^{r_{2}}\frac{dr}{4\pi k r^{2}}=\frac{r_{2}-r_{1}}{4\pi k r_{1}r_{2}}=\frac{r_{2}-r_{1}}{k A_{m}}.
Intuição: como a área varia com r, a área efetiva que entra na expressão da resistência é a média geométrica A_{m} entre a área interna e externa.

Passo 8

Você conseguiu! Resumindo: a dedução usa apenas a Lei de Fourier, a simetria esférica (fluxo radial) e a integração do gradiente de temperatura entre as duas superfícies. Esses passos são exatamente os que convém fazer na prova quando pedir condução térmica numa casca esférica.

Resposta

Q=\frac{T_{1}-T_{2}}{R}
R=\frac{r_{2}-r_{1}}{k A_{m}},\qquad A_{m}=\sqrt{\left(4\pi r_{1}^{2}\right)\left(4\pi r_{2}^{2}\right)}=4\pi r_{1}r_{2}.

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