3.42 Uma esfera oca,
, é mantida em uma temperatura uniforme
na superfície interna em
, e à temperatura
na superfície externa
. Mostre que a taxa total de transferência de calor
através da esfera é dada por
onde a resistẻncia térmica
da esfera é
Passo 1
O enunciado dá uma casca esférica oca ocupando
. As superfícies esféricas têm temperaturas uniformes:
- na superfície interna
a temperatura é ; - na superfície externa
a temperatura é .
A condutividade térmica do material é
(assumida constante). Pede-se para mostrar que a taxa total de transferência de calor
através da casca é da forma
onde a resistência térmica
é
Passo 2
Conceito e lei básica (a aula rápida antes da conta): para condução de calor em regime estacionário, sem geração de calor interna e com simetria esférica, o fluxo de calor radial é governado pela Lei de Fourier. Em notação escalar para fluxo radial:
onde
é a densidade de fluxo de calor (potência por unidade de área, em W/m
),
é a condutividade térmica (W/m·K) e
é o gradiente radial de temperatura. A taxa total de calor que atravessa uma esfera de raio
é
onde
é a área da superfície esférica de raio
. Para uma esfera:
Passo 3
Como o problema é estacionário e não há geração, a taxa total de calor
é a mesma através de qualquer superfície esférica concêntrica (isto é,
não depende de
). Portanto, usando Fourier e
:
Isolando o derivado:
Passo 4
Integramos essa expressão entre
e
, aplicando as condições de contorno
e
. Escrevendo a integral:
Calcule a integral no lado direito:
Portanto, o lado esquerdo dá
, então
Multiplicando por
e reorganizando:
Passo 5
Isolar
. Observe que
Substituindo:
Logo
Escrevendo na forma
, obtemos
Passo 6
Mostrar que essa expressão coincide com a forma pedida usando
. Calcule
e
:
O produto
. Portanto a média geométrica
Substituindo
na expressão de
:
Assim
com
conforme pedido.
Passo 7
Comentário físico e alternativa curta: a resistência térmica foi obtida integrando a resistência elementar
entre
e
. Essa integral produz o mesmo resultado:
Intuição: como a área varia com
, a área efetiva que entra na expressão da resistência é a média geométrica
entre a área interna e externa.
Passo 8
Você conseguiu! Resumindo: a dedução usa apenas a Lei de Fourier, a simetria esférica (fluxo radial) e a integração do gradiente de temperatura entre as duas superfícies. Esses passos são exatamente os que convém fazer na prova quando pedir condução térmica numa casca esférica.