3.43 Considere uma esfera oca de raio interno r=a e raio externo r=b. A superfície interna está aquecida uniformemente a uma taxa constante q_{0} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} com um aquecedor elétrico, enquanto a superficie é mantida à temperatura zero.
(a) Desenvolva uma expressão da distribuição de temperatura estacionária T(r) na esfera. 10^{5} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}.
(b) Calcule a temperatura na superfície interna com a=10 \mathrm{~cm}, b=20 \mathrm{~cm}, k=40 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) e q_{0}=1,6 \times Resposta: 200^{\circ} \mathrm{C}.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) determinar a distribuição de temperatura estacionária T(r) no material da esfera oca, com raio interno a e raio externo b, quando a superfície interna é aquecida uniformemente com fluxo superficial q_{0} e a superfície externa é mantida em temperatura zero;
(b) calcular numericamente a temperatura da superfície interna usando a=10\\ \mathrm{cm}, b=20\\ \mathrm{cm}, k=40\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}) e q_{0}=1,6\times10^{5}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
Informações relevantes dadas:
Geometria: esfera oca com a\le r\le b.
Regime estacionário (não depende do tempo).
Material com condutividade térmica constante k.
Condição na superfície interna r=a: fluxo superficial aplicado de magnitude q_{0} (unidade \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}).
Condição na superfície externa r=b: temperatura fixa T(b)=0.
Passo 2
Entendendo a física e a equação governante (aula rápida).
Em regime estacionário, sem geração interna volumétrica e assumindo simetria esférica (a temperatura depende só de r), o balanço de energia diz que o fluxo radial q_{r}(r) é divergência nula, o que leva à equação diferencial em coordenadas esféricas:
onde C_{2} é outra constante de integração. Portanto a solução geral é
T(r)=C_{2}-\frac{C_{1}}{r}.
Passo 4
Aplicar as condições de contorno (explicando o sinal do fluxo).
Precisamos determinar C_{1} e C_{2} usando as condições:
Temperatura na superfície externa: T(b)=0.
Fluxo na superfície interna: o fluxo radial para fora é dado por q_{r}(r)=-k\,\dfrac{dT}{dr}. No enunciado o fluxo aplicado na superfície interna tem magnitude q_{0} no sentido para fora, então impomos
Observe: a convenção usada é que q_{r} positivo significa calor saindo radialmente para fora; por isso o sinal negativo do gradiente aparece na lei de Fourier.
Passo 5
Determinar as constantes usando as condições.
Primeiro use T(b)=0: