3.43 Considere uma esfera oca de raio interno r=a e raio externo r=b. A superfície interna está aquecida uniformemente a uma taxa constante q_{0} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} com um aquecedor elétrico, enquanto a superficie é mantida à temperatura zero.
(a) Desenvolva uma expressão da distribuição de temperatura estacionária T(r) na esfera. 10^{5} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}.
(b) Calcule a temperatura na superfície interna com a=10 \mathrm{~cm}, b=20 \mathrm{~cm}, k=40 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) e q_{0}=1,6 \times Resposta: 200^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) determinar a distribuição de temperatura estacionária T(r) no material da esfera oca, com raio interno a e raio externo b, quando a superfície interna é aquecida uniformemente com fluxo superficial q_{0} e a superfície externa é mantida em temperatura zero;
  • (b) calcular numericamente a temperatura da superfície interna usando a=10\\ \mathrm{cm}, b=20\\ \mathrm{cm}, k=40\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}) e q_{0}=1,6\times10^{5}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
Informações relevantes dadas:
  • Geometria: esfera oca com a\le r\le b.
  • Regime estacionário (não depende do tempo).
  • Material com condutividade térmica constante k.
  • Condição na superfície interna r=a: fluxo superficial aplicado de magnitude q_{0} (unidade \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}).
  • Condição na superfície externa r=b: temperatura fixa T(b)=0.

Passo 2

Entendendo a física e a equação governante (aula rápida).
Em regime estacionário, sem geração interna volumétrica e assumindo simetria esférica (a temperatura depende só de r), o balanço de energia diz que o fluxo radial q_{r}(r) é divergência nula, o que leva à equação diferencial em coordenadas esféricas:
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dT}{dr}\right)=0.
Explicação do que cada termo significa:
  • T(r) é a temperatura (função do raio r);
  • \dfrac{dT}{dr} é o gradiente radial de temperatura;
  • r^{2} aparece porque a área de uma casca esférica de raio r é 4\pi r^{2}, então o fluxo total atravessando essa casca envolve esse fator.

Passo 3

Integração da equação diferencial (resolver passo a passo).
Da equação
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dT}{dr}\right)=0
multiplicamos por r^{2} e integramos em relação a r:
\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dT}{dr}\right)=0 \quad\Rightarrow\quad r^{2}\frac{dT}{dr}=C_{1},
onde C_{1} é uma constante de integração. Dividindo e integrando novamente:
\frac{dT}{dr}=\frac{C_{1}}{r^{2}} \quad\Rightarrow\quad T(r)= -\frac{C_{1}}{r}+C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração. Portanto a solução geral é
T(r)=C_{2}-\frac{C_{1}}{r}.

Passo 4

Aplicar as condições de contorno (explicando o sinal do fluxo).
Precisamos determinar C_{1} e C_{2} usando as condições:
  • Temperatura na superfície externa: T(b)=0.
  • Fluxo na superfície interna: o fluxo radial para fora é dado por q_{r}(r)=-k\,\dfrac{dT}{dr}. No enunciado o fluxo aplicado na superfície interna tem magnitude q_{0} no sentido para fora, então impomos
q_{r}(a)= -k\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=a}=q_{0}.
Observe: a convenção usada é que q_{r} positivo significa calor saindo radialmente para fora; por isso o sinal negativo do gradiente aparece na lei de Fourier.

Passo 5

Determinar as constantes usando as condições.
Primeiro use T(b)=0:
T(b)=C_{2}-\frac{C_{1}}{b}=0 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=\frac{C_{1}}{b}.
Agora use a condição de fluxo em r=a. Da solução, \dfrac{dT}{dr}=\dfrac{C_{1}}{r^{2}}. Então
-q_{r}(a)= -k\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=a}= -k\frac{C_{1}}{a^{2}} \quad\text{ou}\quad -k\frac{C_{1}}{a^{2}}=q_{0}.
Isolando C_{1}:
C_{1}=-\frac{q_{0}a^{2}}{k}.
Substituindo em C_{2}=\dfrac{C_{1}}{b}:
C_{2}=-\frac{q_{0}a^{2}}{k\,b}.

Passo 6

Escrever a expressão final para T(r) e interpretar.
Substituindo C_{1} e C_{2} na solução geral T(r)=C_{2}-\dfrac{C_{1}}{r} obtemos
T(r)=-\frac{q_{0}a^{2}}{k\,b}-\left(-\frac{q_{0}a^{2}}{k}\right)\frac{1}{r} =\frac{q_{0}a^{2}}{k}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{b}\right).
Interpretação simples: a temperatura depende de 1/r e é zero em r=b; para r=a obtém-se a temperatura da superfície interna.

Passo 7

Calcular a temperatura na superfície interna r=a com os valores numéricos.
Usar a fórmula encontrada e os dados:
T(a)=\frac{q_{0}a^{2}}{k}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right) =\frac{q_{0}a}{k}\left(1-\frac{a}{b}\right).
Substituindo \,q_{0}=1,6\times10^{5}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}, a=0,10\\ \mathrm{m}, b=0,20\\ \mathrm{m}, k=40\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}):
\frac{q_{0}a}{k}=\frac{1,6\times10^{5}\times0,10}{40} =\frac{1,6\times10^{4}}{40}=400.
E
1-\frac{a}{b}=1-\frac{0,10}{0,20}=1-0,5=0,5.
Logo
T(a)=400\times0,5=200.
A unidade é {}^{\circ}\mathrm{C} porque k estava em \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}).

Resposta

(a) \displaystyle T(r)=\frac{q_{0}a^{2}}{k}\!\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{b}\right)\n(b) \displaystyle T(a)=200^\circ\mathrm{C}

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