3.39 Determine a taxa de transferência de calor através de uma casca esférica de cobre, de condutividade térmica
, raio interno
e raio externo
, se a superfície interna for mantida a
e a superficie externa a
.
Passo 1
O enunciado pede a taxa de transferência de calor através de uma casca esférica de cobre. As informações dadas são:
- condutividade térmica:
; - raio interno:
; - raio externo:
; - temperatura da superfície interna:
; - temperatura da superfície externa:
.
O que se pede: calcular a taxa de calor em regime estacionário (taxa total
, em watts) que flui do interior para o exterior da casca.
Passo 2
Vamos escrever a lei de Fourier para condução estacionária em coordenadas radiais (simetria esférica). A taxa de calor radial através de uma superfície esférica de raio
é
onde:
-
é a taxa de calor (W) atravessando a superfície esférica de raio (em regime estacionário é constante e igual a ); -
é a condutividade térmica ( ); -
é a área da superfície esférica, ; -
é a temperatura em função do raio e sua derivada radial.
Explicando intuitivamente: como a área depende de
, a variação de temperatura com
deve compensar para que o fluxo
permaneça constante.
Passo 3
Substituindo
e escrevendo o fluxo como
(positivo no sentido de
crescente, do interior para o exterior), obtemos
Isolando a derivada:
Agora separamos variáveis para integrar entre as superfícies interna e externa.
Passo 4
Integramos de
(onde
) até
(onde
):
Calcule a integral do lado direito:
. Assim
Rearranjando para
:
É mais comum escrever:
Isto é a expressão exata para a taxa de calor através de uma casca esférica sem geração interna, em regime estacionário.
Passo 5
Interpretação em termos de resistência térmica: a resistência térmica de condução da casca esférica é
e então
Essa forma é útil para comparar com análogos elétricos (resistência térmica em série, etc.).
Passo 6
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro convertemos os raios para metros:
A diferença de temperatura é
.
Calcule o fator
:
Substituindo em
temos
Multiplicando:
logo
Passo 7
Comentário final rápido e motivador: o valor é grande (
) porque cobre é muito condutor térmico e a diferença de temperatura é elevada. Na prova, lembrar de transformar unidades (cm → m), usar
e integrar
— esse é o caminho padrão para cascas esféricas.