3.39 Determine a taxa de transferência de calor através de uma casca esférica de cobre, de condutividade térmica k =386 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right), raio interno r_{i}=2 \mathrm{~cm} e raio externo r_{0}=6 \mathrm{~cm}, se a superfície interna for mantida a T_{i}=200^{\circ} \mathrm{C} e a superficie externa a T_{0}=100{ }^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede a taxa de transferência de calor através de uma casca esférica de cobre. As informações dadas são:
  • condutividade térmica: k=386\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{^\circ\mathrm{C}});
  • raio interno: r_{i}=2\\ \mathrm{cm};
  • raio externo: r_{o}=6\\ \mathrm{cm};
  • temperatura da superfície interna: T_{i}=200{^\circ\mathrm{C}};
  • temperatura da superfície externa: T_{o}=100{^\circ\mathrm{C}}.
O que se pede: calcular a taxa de calor em regime estacionário (taxa total q, em watts) que flui do interior para o exterior da casca.

Passo 2

Vamos escrever a lei de Fourier para condução estacionária em coordenadas radiais (simetria esférica). A taxa de calor radial através de uma superfície esférica de raio r é
q_r = -k\,A(r)\,\frac{dT}{dr},
onde:
  • q_r é a taxa de calor (W) atravessando a superfície esférica de raio r (em regime estacionário q_r é constante e igual a q);
  • k é a condutividade térmica ( \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot{^\circ\mathrm{C}});
  • A(r) é a área da superfície esférica, A(r)=4\pi r^{2};
  • T(r) é a temperatura em função do raio e dT/dr sua derivada radial.
Explicando intuitivamente: como a área depende de r^{2}, a variação de temperatura com r deve compensar para que o fluxo q permaneça constante.

Passo 3

Substituindo A(r)=4\pi r^{2} e escrevendo o fluxo como q (positivo no sentido de r crescente, do interior para o exterior), obtemos
q = -k\,4\pi r^{2}\frac{dT}{dr}.
Isolando a derivada:
\frac{dT}{dr} = -\frac{q}{4\pi k}\,r^{-2}.
Agora separamos variáveis para integrar entre as superfícies interna e externa.

Passo 4

Integramos de r=r_{i} (onde T=T_{i}) até r=r_{o} (onde T=T_{o}):
\int_{T_{i}}^{T_{o}} dT = -\frac{q}{4\pi k}\int_{r_{i}}^{r_{o}} r^{-2}dr.
Calcule a integral do lado direito: \int r^{-2}dr = -\dfrac{1}{r}. Assim
T_{o}-T_{i} = -\frac{q}{4\pi k}\left[-\frac{1}{r}\right]_{r_{i}}^{r_{o}} = \frac{q}{4\pi k}\left(\frac{1}{r_{o}}-\frac{1}{r_{i}}\right).
Rearranjando para q:
q = 4\pi k\,(T_{i}-T_{o})\left(\frac{1}{r_{i}}-\frac{1}{r_{o}}\right)^{-1}.
É mais comum escrever:
q = \frac{4\pi k\,(T_{i}-T_{o})}{\dfrac{1}{r_{i}}-\dfrac{1}{r_{o}}}.
Isto é a expressão exata para a taxa de calor através de uma casca esférica sem geração interna, em regime estacionário.

Passo 5

Interpretação em termos de resistência térmica: a resistência térmica de condução da casca esférica é
R_{\text{th}}=\frac{1}{4\pi k}\left(\frac{1}{r_{i}}-\frac{1}{r_{o}}\right),
e então
q=\frac{T_{i}-T_{o}}{R_{\text{th}}}.
Essa forma é útil para comparar com análogos elétricos (resistência térmica em série, etc.).

Passo 6

Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro convertemos os raios para metros:
r_{i}=2\\ \mathrm{cm}=0{,}02\\ \mathrm{m},\qquad r_{o}=6\\ \mathrm{cm}=0{,}06\\ \mathrm{m}.
A diferença de temperatura é (T_{i}-T_{o})=200-100=100\\ {^\circ\mathrm{C}}.
Calcule o fator \dfrac{1}{r_{i}}-\dfrac{1}{r_{o}}:
\frac{1}{r_{i}}-\frac{1}{r_{o}}=\frac{1}{0{,}02}-\frac{1}{0{,}06}=50-\frac{50}{3}=\frac{100}{3}\\ \mathrm{m^{-1}}.
Substituindo em
q=\frac{4\pi k\,(T_{i}-T_{o})}{\dfrac{1}{r_{i}}-\dfrac{1}{r_{o}}}
temos
q=\frac{4\pi\cdot 386\cdot 100}{100/3}=4\pi\cdot 386\cdot 3=12\pi\cdot 386.
Multiplicando:
12\cdot 386=4632,
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q=4632\pi\\ \mathrm{W}\approx 1{,}46\times 10^{4}\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Comentário final rápido e motivador: o valor é grande ( \sim 14{,}6\\ \mathrm{kW}) porque cobre é muito condutor térmico e a diferença de temperatura é elevada. Na prova, lembrar de transformar unidades (cm → m), usar A=4\pi r^{2} e integrar r^{-2} — esse é o caminho padrão para cascas esféricas.

Resposta

q=4632\pi\\ \mathrm{W}\approx 1{,}46\times 10^{4}\\ \mathrm{W}

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