4.(2,0 pts.)Associe a função f(x)=e^{3 x} a série de Taylor centrada em zero(série de MacLaurin)e determine seu raio de convergência.

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=e^{3x} centrada em zero (série de Maclaurin) e o respectivo raio de convergência. Para isso vamos usar (1) a fórmula geral
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n
e (2) o teste da razão para determinar o raio.

Passo 2

Observa-se que
f(x)=e^{3x}
tem derivadas
f^{(n)}(x)=3^n e^{3x},
logo, avaliando em x=0,
f^{(n)}(0)=3^n.

Passo 3

Substituindo na fórmula da série de Maclaurin, obtemos
e^{3x} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3^n}{n!}\,x^n =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(3x)^n}{n!}.

Passo 4

Para o raio de convergência, usemos o teste da razão no termo geral a_n=\frac{(3x)^n}{n!}:
\lim_{n\to\infty}\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr| =\lim_{n\to\infty}\frac{|3x|^{\,n+1}/(n+1)!}{|3x|^n/n!} =\lim_{n\to\infty}\frac{|3x|}{n+1}=0.
Como esse limite é 0<1 para todo x, a série converge para qualquer x.

Resposta

A série de Maclaurin de e^{3x} é
e^{3x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(3x)^n}{n!}
e o raio de convergência é R=\infty.

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