Avalie se cada série a seguir converge ou diverge.
(a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{2 n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{2n^{2}+1}
converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é o teste da convergência pelo termo geral: para uma série \sum a_{n} convergir, é necessário (mas não suficiente) que \lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

Passo 2

Vamos calcular o limite do termo geral
a_{n} = \frac{n^{2}}{2n^{2}+1}
quando n\to\infty. Dividindo numerador e denominador por n^{2}, temos
\frac{n^{2}}{2n^{2}+1} = \frac{1}{2 + \tfrac{1}{n^{2}}} \quad\longrightarrow\quad \frac{1}{2+0} = \frac{1}{2}.

Passo 3

Como \lim_{n\to\infty}a_{n} = \tfrac{1}{2} \neq 0, a condição necessária para convergência falha. Portanto, a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge.

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