Avalie se cada sequência a seguir converge ou diverge.Caso convirja,encontre seu limite.
(b) a_{n+1}=\frac{a_{n}+4}{2}, \operatorname{com} a_{1}=10

Passo 1

O enunciado dá uma sequência (a_n) definida pela recorrência
a_{n+1} = \frac{a_{n} + 4}{2},\quad a_{1}=10,
e pede para avaliar se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, determinar seu limite. O conteúdo é resolução de recorrência linear de primeira ordem e análise de convergência.

Passo 2

Procuramos um ponto fixo L que satisfaça
L = \frac{L + 4}{2}.
Multiplicando ambos os lados por 2, obtemos 2L = L + 4, ou seja
L = 4.

Passo 3

Para achar o termo geral, escrevemos a parte homogênea e uma solução particular. A parte homogênea satisfaz
a_{n+1}^h = \tfrac12\,a_n^h
cuja solução é
a_n^h = C\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{\,n-1}.
Como já vimos que L=4 é uma solução particular constante, a solução geral é
a_n = 4 + C\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{\,n-1}.
Usando a_{1}=10, temos
10 = 4 + C\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{0} \quad\Longrightarrow\quad C = 6.
Logo
a_n = 4 + 6\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{\,n-1}.

Passo 4

Como \bigl(\tfrac12\bigr)^{n-1}\to 0 quando n\to\infty, concluímos que
\lim_{n\to\infty}a_n = 4.
Portanto, a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_n = 4.

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