Avalie se cada sequência a seguir converge ou diverge.Caso convirja,encontre seu limite.
(b)
.
(b)
Passo 1
O enunciado dá uma sequência
definida pela recorrência
e pede para avaliar se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, determinar seu limite. O conteúdo é resolução de recorrência linear de primeira ordem e análise de convergência.
Passo 2
Procuramos um ponto fixo
que satisfaça
Multiplicando ambos os lados por 2, obtemos
, ou seja
Passo 3
Para achar o termo geral, escrevemos a parte homogênea e uma solução particular. A parte homogênea satisfaz
cuja solução é
Como já vimos que
é uma solução particular constante, a solução geral é
Usando
, temos
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Passo 4
Como
quando
, concluímos que
Portanto, a sequência converge.
Resposta
A sequência converge e