42E (Extra). Suponha que o produto escalar entre a soma e a diferença de dois vetores seja
. Determine a relação entre os módulos dos vetores
e
.
Passo 1
O enunciado dá a igualdade
e pede: qual é a relação entre os módulos (normas) de
e
.
Informações relevantes que temos do enunciado: e
são vetores quaisquer e a produto escalar da soma pela diferença é nulo. Não existem outras condições explícitas (como ortogonalidade entre
e
a priori); o que temos é apenas a igualdade acima.
Informações relevantes que temos do enunciado:
Passo 2
Vamos lembrar (de forma bem direta e prática) algumas propriedades do produto escalar que vamos usar:
- Linearidade/distributividade: para quaisquer vetores
, Isso significa que podemos “distribuir” o produto escalar sobre soma, igualzinho ao que fazemos com multiplicação e soma de números. - Comutatividade: para quaisquer vetores
, Ou seja, a ordem não importa. - Relação com norma: para qualquer vetor
, onde é o módulo (norma) do vetor. Isso é útil porque transforma produto escalar de um vetor por si mesmo em quadrado da norma.
Passo 3
Agora aplicamos a distributividade para expandir a expressão do enunciado. Usando
e distribuindo o produto escalar em relação ao primeiro fator:
Em seguida distribuímos dentro de cada termo:
Somando ambos,
Passo 4
Use a comutatividade para lidar com os termos do meio:
. Assim os dois termos do meio são opostos:
Portanto sobra apenas
Passo 5
Agora usamos a relação entre produto escalar e norma:
e
. Substituindo na igualdade do enunciado, que é zero, obtemos
Logo
Passo 6
Tirando raiz quadrada em ambos os lados e lembrando que normas são números não-negativos, concluímos
Isto é, os módulos (normas) de
e
são iguais. Intuitivamente, a condição dada é exatamente a diferença de quadrados das normas sendo zero.
Passo 7
Exemplo rápido para fixar: se
e
, então
e
confirmando a propriedade. Dica para prova: ao ver
lembre-se que isso costuma se reduzir a
.