42E (Extra). Suponha que o produto escalar entre a soma e a diferença de dois vetores seja (\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=0. Determine a relação entre os módulos dos vetores \vec{a} e \vec{b}.

Passo 1

O enunciado dá a igualdade
(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})=0
e pede: qual é a relação entre os módulos (normas) de \vec{a} e \vec{b}.
Informações relevantes que temos do enunciado: \vec{a} e \vec{b} são vetores quaisquer e a produto escalar da soma pela diferença é nulo. Não existem outras condições explícitas (como ortogonalidade entre \vec{a} e \vec{b} a priori); o que temos é apenas a igualdade acima.

Passo 2

Vamos lembrar (de forma bem direta e prática) algumas propriedades do produto escalar que vamos usar:
  • Linearidade/distributividade: para quaisquer vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w}, (\vec{u}+\vec{v})\cdot\vec{w}=\vec{u}\cdot\vec{w}+\vec{v}\cdot\vec{w}.Isso significa que podemos “distribuir” o produto escalar sobre soma, igualzinho ao que fazemos com multiplicação e soma de números.
  • Comutatividade: para quaisquer vetores \vec{u},\vec{v}, \vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}.Ou seja, a ordem não importa.
  • Relação com norma: para qualquer vetor \vec{u}, \vec{u}\cdot\vec{u}=|\vec{u}|^2,onde |\vec{u}| é o módulo (norma) do vetor. Isso é útil porque transforma produto escalar de um vetor por si mesmo em quadrado da norma.

Passo 3

Agora aplicamos a distributividade para expandir a expressão do enunciado. Usando (\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b}) e distribuindo o produto escalar em relação ao primeiro fator:
(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b}) = \vec{a}\cdot(\vec{a}-\vec{b}) + \vec{b}\cdot(\vec{a}-\vec{b}).
Em seguida distribuímos dentro de cada termo:
\vec{a}\cdot(\vec{a}-\vec{b}) = \vec{a}\cdot\vec{a} - \vec{a}\cdot\vec{b},
\vec{b}\cdot(\vec{a}-\vec{b}) = \vec{b}\cdot\vec{a} - \vec{b}\cdot\vec{b}.
Somando ambos,
(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b}) = \vec{a}\cdot\vec{a} - \vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{b}\cdot\vec{a} - \vec{b}\cdot\vec{b}.

Passo 4

Use a comutatividade para lidar com os termos do meio: \vec{b}\cdot\vec{a}=\vec{a}\cdot\vec{b}. Assim os dois termos do meio são opostos:
- \vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{b}\cdot\vec{a} = - \vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{b} = 0.
Portanto sobra apenas
(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b}) = \vec{a}\cdot\vec{a} - \vec{b}\cdot\vec{b}.

Passo 5

Agora usamos a relação entre produto escalar e norma: \vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2 e \vec{b}\cdot\vec{b}=|\vec{b}|^2. Substituindo na igualdade do enunciado, que é zero, obtemos
0 = (\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b}) = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2.
Logo
|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2.

Passo 6

Tirando raiz quadrada em ambos os lados e lembrando que normas são números não-negativos, concluímos
|\vec{a}| = |\vec{b}|.
Isto é, os módulos (normas) de \vec{a} e \vec{b} são iguais. Intuitivamente, a condição dada é exatamente a diferença de quadrados das normas sendo zero.

Passo 7

Exemplo rápido para fixar: se \vec{a}=(1,0) e \vec{b}=(0,1), então |\vec{a}|=|\vec{b}|=1 e
(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})=(1,1)\cdot(1,-1)=1\cdot1+1\cdot(-1)=0,
confirmando a propriedade. Dica para prova: ao ver (\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b}) lembre-se que isso costuma se reduzir a |\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2.

Resposta

|\vec{a}| = |\vec{b}|

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