Dados os vetores u=(2,-1,1), v=(1,-1,0) e w=(-1,2,2), calcular:
(b) v \times(v-u)

Passo 1

O enunciado fornece os vetores \,u=(2,-1,1),\; v=(1,-1,0) e \,w=(-1,2,2)\, e pede para calcular a expressão (b) \;v\times(v-u).
Informações relevantes que o enunciado dá:
u=(2,-1,1),\qquad v=(1,-1,0).
A quantidade pedida é o produto vetorial de v por v-u, isto é, \;v\times(v-u).

Passo 2

Entendendo a expressão: primeiro precisamos formar o vetor \;v-u e depois calcular o produto vetorial com v. Porém há propriedades do produto vetorial que nos poupam cálculo desnecessário. Duas propriedades úteis são:
\text{distributividade:}\qquad a\times(b+c)=a\times b + a\times c,
\text{autoproduto nulo:}\qquad a\times a = (0,0,0)\quad\text{para qualquer vetor }a.
Usando essas propriedades, escrevemos
v\times(v-u)=v\times v - v\times u.
Como v\times v=(0,0,0), fica
v\times(v-u) = -(v\times u).

Passo 3

Agora precisamos calcular \;v\times u. Vou lembrar a fórmula prática para o produto vetorial de v=(v_1,v_2,v_3) e u=(u_1,u_2,u_3):
v\times u = \big(v_2u_3 - v_3u_2,\; v_3u_1 - v_1u_3,\; v_1u_2 - v_2u_1\big).
Aqui, v_1,v_2,v_3 são as componentes do vetor v (primeira, segunda e terceira componente), e u_1,u_2,u_3 são as componentes de u.

Passo 4

Identificando as componentes dos vetores dados:
v_1=1,\; v_2=-1,\; v_3=0,
u_1=2,\; u_2=-1,\; u_3=1.

Passo 5

Aplicando a fórmula componente a componente:
Primeira componente:
v_2u_3 - v_3u_2 = (-1)\cdot 1 - 0\cdot(-1) = -1 - 0 = -1.
Segunda componente:
v_3u_1 - v_1u_3 = 0\cdot 2 - 1\cdot 1 = 0 - 1 = -1.
Terceira componente:
v_1u_2 - v_2u_1 = 1\cdot(-1) - (-1)\cdot 2 = -1 - (-2) = -1 + 2 = 1.
Portanto
v\times u = (-1,-1,1).

Passo 6

Lembrando do Passo 2 em que obtivemos \;v\times(v-u) = -(v\times u), aplicamos o sinal negativo ao vetor acima:
v\times(v-u) = -(-1,-1,1) = (1,1,-1).

Resposta

(1,1,-1)

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