Um condutor cuja capacitância em relação à Terra é
é isolado dela por uma placa de sílica de
de espessura e
de área de seção transversal. Qual deve ser a resistividade mínima da sílica para que a velocidade de decréscimo de potencial não seja maior que
?
Passo 1
O enunciado pede que a resistividade mínima da sílica seja tal que a velocidade de decréscimo do potencial do condutor não seja maior que
. Dados fornecidos:
Velocidade máxima de decréscimo:
. Não é pedido nada mais além da resistividade mínima
da sílica.
Passo 2
Modelo físico e equação de descarga. Um condutor com capacitância
ligado à Terra por uma resistência efetiva
tem a tensão decaindo exponencialmente:
Aqui
é a tensão no instante
,
a tensão inicial,
a resistência entre o condutor e a Terra e
é a constante de tempo do circuito. Esse modelo vem da equação diferencial
, cuja solução é a exponencial acima. Vou explicar:
armazena carga e a corrente de fuga através de
retira essa carga, fazendo a tensão cair com tempo característico
.
Passo 3
Ligando resistência ao parâmetro buscado: resistividade. A resistência de um bloco de material homogêneo de resistividade
, espessura
e área de seção transversal
é
Aqui
tem unidades
,
em metros e
em metros quadrados. Esse resultado vem de dividir a resistividade pelo volume efetivo de passagem de corrente: resistência é proporcional ao comprimento (espessura) e inversamente proporcional à área.
Passo 4
Tradução da condição de enunciado para desigualdade matemática. Queremos que a fração do potencial que se perde em
minuto seja no máximo
. A fração que resta após
é
, então a fração perdida em
é
Isto é a expressão exata; para pequenas perdas pode-se aproximar, mas aqui resolvemos exatamente.
Passo 5
Isolando
na desigualdade. Reescrevendo:
Aplicando logaritmo natural (note que
):
Multiplicando por
e invertendo o sinal:
Assim
Logo
Passo 6
Cálculo numérico de
. Primeiro calculemos
. Usando expansão ou calculadora:
Agora substituímos
:
Calcule passo a passo:
Arredondando,
.
Passo 7
Agora relacionamos
com
usando
. Logo
Substituindo
,
e
:
Calcule o fator:
Portanto
Passo 8
Interpretação rápida e arredondamento. O valor obtido é aproximadamente
. Isso significa que a sílica deve ser muito resistiva (ordem de megaohm·metro) para garantir que a tensão não caia mais rápido que
. Dá pra ver que o tempo característico
fica da ordem de
(ou várias horas), então a descarga é bem lenta.