Um condutor cuja capacitância em relação à Terra é 10 \mu \mathrm{~F} é isolado dela por uma placa de sílica de 2,5 \mathrm{~m} de espessura e 5 \mathrm{~cm}^{2} de área de seção transversal. Qual deve ser a resistividade mínima da sílica para que a velocidade de decréscimo de potencial não seja maior que 0,1 \% / \min ?

Passo 1

O enunciado pede que a resistividade mínima da sílica seja tal que a velocidade de decréscimo do potencial do condutor não seja maior que 0,1\%/\min. Dados fornecidos:
C=10\,\mu\mathrm{F}=10\times10^{-6}\,\mathrm{F}
d=2,5\,\mathrm{m}
A=5\,\mathrm{cm}^2=5\times10^{-4}\,\mathrm{m}^2
Velocidade máxima de decréscimo: 0,1\%/\min = 0{,}001/\min. Não é pedido nada mais além da resistividade mínima \rho da sílica.

Passo 2

Modelo físico e equação de descarga. Um condutor com capacitância C ligado à Terra por uma resistência efetiva R tem a tensão decaindo exponencialmente:
V(t)=V_0 e^{-t/(RC)}.
Aqui V(t) é a tensão no instante t, V_0 a tensão inicial, R a resistência entre o condutor e a Terra e RC é a constante de tempo do circuito. Esse modelo vem da equação diferencial C\frac{dV}{dt}=-\frac{V}{R}, cuja solução é a exponencial acima. Vou explicar: C armazena carga e a corrente de fuga através de R retira essa carga, fazendo a tensão cair com tempo característico RC.

Passo 3

Ligando resistência ao parâmetro buscado: resistividade. A resistência de um bloco de material homogêneo de resistividade \rho, espessura d e área de seção transversal A é
R=\rho\frac{d}{A}.
Aqui \rho tem unidades \Omega\cdot\mathrm{m}, d em metros e A em metros quadrados. Esse resultado vem de dividir a resistividade pelo volume efetivo de passagem de corrente: resistência é proporcional ao comprimento (espessura) e inversamente proporcional à área.

Passo 4

Tradução da condição de enunciado para desigualdade matemática. Queremos que a fração do potencial que se perde em 1 minuto seja no máximo 0{,}001. A fração que resta após t é e^{-t/(RC)}, então a fração perdida em t=60\\ \mathrm{s} é
1-e^{-60/(RC)} \le 0{,}001.
Isto é a expressão exata; para pequenas perdas pode-se aproximar, mas aqui resolvemos exatamente.

Passo 5

Isolando R na desigualdade. Reescrevendo:
e^{-60/(RC)} \ge 1-0{,}001 = 0{,}999.
Aplicando logaritmo natural (note que \ln(0{,}999)<0):
-\frac{60}{RC} \ge \ln(0{,}999).
Multiplicando por -1 e invertendo o sinal:
\frac{60}{RC} \le -\ln(0{,}999).
Assim
RC \ge \frac{60}{-\ln(0{,}999)}.
Logo
R \ge \frac{60}{C\bigl(-\ln(0{,}999)\bigr)}.

Passo 6

Cálculo numérico de R. Primeiro calculemos -\ln(0{,}999). Usando expansão ou calculadora:
-\ln(0{,}999)\approx 0{,}0010005003335835344.
Agora substituímos C=10\times10^{-6}\,\mathrm{F}:
R \ge \frac{60}{(10\times10^{-6})\times 0{,}0010005003335835344}.
Calcule passo a passo:
(10\times10^{-6})\times 0{,}0010005003335835344 = 1{,}0005003335835344\times10^{-8}.
R \ge \frac{60}{1{,}0005003335835344\times10^{-8}} \approx 5{,}997\times10^{9}\\ \Omega.
Arredondando, R_{\min}\approx 6{,}0\times10^{9}\,\Omega.

Passo 7

Agora relacionamos R com \rho usando R=\rho d/A. Logo
\rho = R\frac{A}{d}.
Substituindo R\approx 5{,}997\times10^{9}\,\Omega, A=5\times10^{-4}\,\mathrm{m}^2 e d=2{,}5\,\mathrm{m}:
\rho \ge 5{,}997\times10^{9}\times\frac{5\times10^{-4}}{2{,}5}.
Calcule o fator:
\frac{5\times10^{-4}}{2{,}5}=2\times10^{-4}.
Portanto
\rho \ge 5{,}997\times10^{9}\times 2\times10^{-4}=1{,}1994\times10^{6}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.

Passo 8

Interpretação rápida e arredondamento. O valor obtido é aproximadamente \rho_{\min}\approx 1{,}20\times10^{6}\,\Omega\cdot\mathrm{m}. Isso significa que a sílica deve ser muito resistiva (ordem de megaohm·metro) para garantir que a tensão não caia mais rápido que 0{,}1\%/\min. Dá pra ver que o tempo característico RC fica da ordem de 6\times10^{4}\,\mathrm{s} (ou várias horas), então a descarga é bem lenta.

Resposta

1{,}20\times10^{6}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}

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