4.43 Em certo colégio,
dos estudantes são meninas e
de todas as estudantes cursam matemática. As meninas com curso de matemática correspondem a
de todos os estudantes. Um estudante é selecionado aleatoriamente. Qual é a probabilidade de ele ser um menino?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver ainda.
- Dados do enunciado:
-
dos estudantes são meninas. -
de todas as estudantes cursam matemática. - As meninas que cursam matemática correspondem a
de todos os estudantes.
-
- Pergunta que o enunciado faz:
- Qual é a probabilidade de um estudante selecionado aleatoriamente ser um menino?
Passo 2
O que significa aqui “probabilidade de ser menino”? Em problemas fatais como este (onde tudo é dado em percentuais sobre o total), a probabilidade de um evento é simplesmente a fração do total que corresponde ao evento. Ou seja, se
é a proporção de meninas, então a proporção de meninos é o complemento dessa proporção no universo todo.
Explicando a regra do complemento (muito útil em provas):
- Seja
o espaço amostral (todos os estudantes). Se os estudantes são ou menina ou menino (partição exata), então vale - Portanto
Aqui
indica a probabilidade (ou proporção) do evento indicado.
Passo 3
Aplicando a regra do complemento com o dado que temos para meninas:
- Sabemos que
. - Logo
- Em porcentagem isso é
.
Passo 4
Para ficar mais intuitivo (truque que funciona sempre em provas): imagine que a escola tem
estudantes — usar
facilita contas com percentuais.
- De
estudantes, são meninas (porque de é ). - Então os meninos são
estudantes, ou .
As informações sobre quem cursa matemática (no total e meninas com matemática) serviriam para perguntas sobre a distribuição entre cursos, mas não eram necessárias para saber quantos são meninos. Por isso a resposta não depende desses dados adicionais.
Passo 5
Resumo rápido e ânimo: a lógica foi usar a soma das probabilidades dos dois sexos igual a
e subtrair a parte conhecida. Tá lindo — você já pode aplicar esse raciocínio direto na prova sem sufoco.