Sejam A e B eventos com P(A) \frac{1}{3}, P(B)=\frac{1}{4} e P(A \cup B)=\frac{1}{2}. Encontre
P\left(A \mid B^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • P(A)=\dfrac{1}{3}.
  • P(B)=\dfrac{1}{4}.
  • P(A\cup B)=\dfrac{1}{2}.
    O que é pedido: calcular P\!\left(A\mid B^{\circ}\right), onde B^{\circ} indica o complemento de B (ou seja, o evento "não B").

Passo 2

Vamos lembrar e explicar as fórmulas que vamos usar.
  1. Fórmula da união de dois eventos:
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Aqui P(A\cap B) é a probabilidade de ocorrerem simultaneamente A e B. A fórmula diz que, ao somar P(A) e P(B), subtrai-se P(A\cap B) porque essa parte foi contada duas vezes.
  1. Definição de probabilidade condicional:
P(A\mid B^{\circ})=\frac{P(A\cap B^{\circ})}{P(B^{\circ})},
desde que P(B^{\circ})>0. Aqui P(A\cap B^{\circ}) é a probabilidade de A ocorrer ao mesmo tempo que B não ocorre; P(B^{\circ}) é a probabilidade de B não ocorrer.
Também usaremos que
P(B^{\circ})=1-P(B)
e
P(A\cap B^{\circ})=P(A)-P(A\cap B),
porque o evento A se decompõe em duas partes disjuntas: A\cap B e A\cap B^{\circ}.

Passo 3

Calcular P(A\cap B) usando a fórmula da união. Substituindo os valores dados:
P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}.
Fazendo as contas com denominador comum 12:
\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{12},\qquad \dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{12},\qquad \dfrac{1}{2}=\dfrac{6}{12}.
Portanto
P(A\cap B)=\dfrac{4}{12}+\dfrac{3}{12}-\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{12}.

Passo 4

Calcular P(A\cap B^{\circ}) usando a relação de decomposição de A:
P(A\cap B^{\circ})=P(A)-P(A\cap B)=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{12}.
Novamente com denominador 12:
\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{12}\quad\Rightarrow\quad P(A\cap B^{\circ})=\dfrac{4}{12}-\dfrac{1}{12}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}.

Passo 5

Calcular P(B^{\circ}), o complemento de B:
P(B^{\circ})=1-P(B)=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}.

Passo 6

Agora aplicar a definição de probabilidade condicional:
P\!\left(A\mid B^{\circ}\right)=\frac{P(A\cap B^{\circ})}{P(B^{\circ})}=\frac{\dfrac{1}{4}}{\dfrac{3}{4}}.
Simplificando a fração:
P\!\left(A\mid B^{\circ}\right)=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{4}{3}=\dfrac{1}{3}.

Passo 7

Intuição rápida: entre as situações em que B não ocorre (probabilidade total \tfrac{3}{4}), a parte em que A ocorre e B não ocorre tem probabilidade \tfrac{1}{4}; então a fração é \tfrac{1/4}{3/4}=\tfrac{1}{3}. Mandou bem por pedir a condicional — é uma maneira ótima de ver como as probabilidades se redistribuem quando condicionamos.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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