4.42 Seja S=\{a, b, c, d, e, f\} e P(f)=\frac{5}{16}. Sejam A e B eventos. Encontre
P(A \mid B)

Passo 1

O enunciado fornece:
  • O espaço amostral S=\{a,b,c,d,e,f\}.
  • A probabilidade de um elemento: P(f)=\dfrac{5}{16}.
  • Diz que A e B são eventos (subconjuntos de S), mas não diz quais são nem fornece outras probabilidades.
O que o problema pede:
  • Calcular P(A\mid B).

Passo 2

Primeiro, a definição e a fórmula que vamos usar (aquela que cai em qualquer prova):
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},
desde que P(B)>0.
Explicando a fórmula com calma:
  • P(A\mid B) é a probabilidade de A ocorrer sabendo que B ocorreu.
  • P(A\cap B) é a probabilidade de ocorrerem ambos A e B ao mesmo tempo (a interseção).
  • P(B) é a probabilidade do evento condicionante B; precisa ser positiva para fazermos a divisão.
    Intuição: dentro do mundo onde só sabemos que B ocorreu (probabilidade total reduzida a P(B)), a fração de vezes que A também ocorre é P(A\cap B)/P(B).

Passo 3

Por que não dá para calcular com as informações dadas:
  • A fórmula exige saber P(A\cap B) e P(B).
  • O enunciado só dá P(f)=\dfrac{5}{16} e não diz nem quais são A e B, nem como as outras probabilidades dos pontos de S estão distribuídas.
  • Sem saber se A ou B contêm o elemento f, ou sem saber as probabilidades dos outros pontos, não é possível determinar P(A\cap B) nem P(B). Logo não se pode obter um valor numérico único para P(A\mid B).

Passo 4

Para te ajudar a saber o que fazer na prova, aqui vão casos e exemplos ilustrativos (sem inventar dados do enunciado):
Caso 1 — se soubermos as descrições de A e B:
  • Se B=\{f\}, então P(B)=P(f)=\dfrac{5}{16}.
    • Se f\in A então A\cap B=\{f\} e P(A\mid B)=1.
    • Se f\notin A então A\cap B=\varnothing e P(A\mid B)=0.
Caso 2 — se soubermos que A=\{f\} e B contém f:
  • Então P(A\cap B)=P(\{f\})=\dfrac{5}{16} e
P(A\mid B)=\frac{\tfrac{5}{16}}{P(B)}.
Esse valor depende de P(B); varia entre 1 (se P(B)=5/16, i.e. B=\{f\}) e um valor pequeno se P(B) for maior.
Exemplo numérico completo (para treinar):
  • Suponha, só para exemplificar, que as probabilidades dos elementos sejam: P(f)=\tfrac{5}{16},\qquad P(a)=P(b)=P\text{(c)}=P(d)=P(e)=\tfrac{11}{80}(aqui a soma das cinco é 5\cdot 11/80=11/16, e 11/16+5/16=1).
    Se A=\{f,b\} e B=\{b,c,f\}, então A\cap B=\{b,f\},\qquad P(A\cap B)=P(b)+P(f)=\tfrac{11}{80}+\tfrac{5}{16}=\tfrac{11}{80}+\tfrac{25}{80}=\tfrac{36}{80}=\tfrac{9}{20},
P(B)=P(b)+P\text{(c)}+P(f)=\tfrac{11}{80}+\tfrac{11}{80}+\tfrac{25}{80}=\tfrac{47}{80},
P(A\mid B)=\frac{9/20}{47/80}=\frac{9}{20}\cdot\frac{80}{47}=\frac{36}{47}\approx0{,}766.
Esse exemplo mostra passo a passo como aplicar a fórmula quando todas as probabilidades e os conjuntos são conhecidos.

Passo 5

Conclusão prática para a sua prova:
  • Sempre que pedirem P(A\mid B), escreva a fórmula P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)} e liste o que falta calcular.
  • Se o enunciado só der uma probabilidade pontual como P(f)=\dfrac{5}{16} sem dizer A nem B, não há informação suficiente para um valor único.
  • Se na prova aparecerem casos como os do Caso 1 e Caso 2 acima, use-os: identifique se f pertence a A ou B e calcule as somas de probabilidades dos elementos dos conjuntos.

Resposta

Não é possível determinar P(A\mid B) com as informações fornecidas.

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