43 Discuta e resolva a equação na incógnita x \left(a^{2}-1\right) x=a-1.

Passo 1

O enunciado pede a discussão e resolução, em função do parâmetro a, da equação na incógnita x
(a^{2}-1)\,x = a - 1.
O conteúdo usado será fatoração de uma diferença de quadrados e solução de equação linear paramétrica.

Passo 2

Observe que
a^{2}-1 = (a-1)(a+1),
então a equação pode ser reescrita como
(a-1)(a+1)\,x = a-1.

Passo 3

Devemos analisar dois casos principais, conforme o valor de (a-1)(a+1):
  • Se (a-1)(a+1)=0, ou seja a=1 ou a=-1.
  • Se (a-1)(a+1)\neq 0, ou seja a\neq \pm1.

Passo 4

Caso a=1:
Substituindo em (a-1)(a+1)x = a-1
0\cdot2\,x = 0\quad\Longrightarrow\quad 0=0,
o que é verdade para qualquer x. Logo, há infinitas soluções.

Passo 5

Caso a=-1:
Substituindo em (a-1)(a+1)x = a-1
(-2)\cdot0\,x = -2\quad\Longrightarrow\quad 0 = -2,
que é impossível. Logo, não há solução.

Passo 6

Caso a\neq \pm1:
Como (a-1)(a+1)\neq0, podemos dividir ambos os lados por a^{2}-1 e obter
x = \frac{a-1}{a^{2}-1} = \frac{a-1}{(a-1)(a+1)} = \frac{1}{a+1}.

Resposta

Para a\neq \pm1:
x = \frac{1}{a+1}.
Para a=1: qualquer x\in\mathbb{R}.
Para a=-1: sem solução.

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