44 Resolva, na incógnita x, a equação
\frac{x+a}{x-a}+\frac{x+b}{x-b}=2

Passo 1

Estamos resolvendo a equação racional
\frac{x+a}{x-a} \;+\;\frac{x+b}{x-b} \;=\;2
onde a e b são constantes e o domínio exige x\neq a e x\neq b.

Passo 2

Reescrevemos cada fração como 1 mais uma parte fracionária. Observe que
\frac{x+a}{x-a} =\frac{(x-a)+2a}{x-a} =1+\frac{2a}{x-a},
e de modo análogo
\frac{x+b}{x-b} =1+\frac{2b}{x-b}.
Somando as duas expressões obtemos
\frac{x+a}{x-a}+\frac{x+b}{x-b} =2 \;+\;\Bigl(\frac{2a}{x-a}+\frac{2b}{x-b}\Bigr).

Passo 3

Como a soma deve dar 2, a parte entre parênteses tem de ser zero:
\frac{2a}{x-a}+\frac{2b}{x-b}=0.
Dividindo por 2, ficamos com
\frac{a}{x-a}+\frac{b}{x-b}=0.

Passo 4

Para eliminar denominadores, colocamos sobre o mesmo denominador:
\frac{a(x-b)+b(x-a)}{(x-a)(x-b)}=0 \quad\Longrightarrow\quad a(x-b)+b(x-a)=0.
Desenvolvendo,
ax - ab + bx - ab = (a+b)x - 2ab = 0.
Logo,
(a+b)x = 2ab \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{2ab}{a+b},
desde que a+b\neq0.

Passo 5

Precisamos verificar o domínio x\neq a e x\neq b. A solução \displaystyle x=\frac{2ab}{a+b}
é igual a a somente se 2ab = a(a+b), ou seja a=0 ou b=a. Caso b=a, teríamos x=a, o que está fora do domínio, portanto não vale. De modo semelhante para x=b.
Em resumo:
  • Se a+b\neq0 e a\neq b, a única solução válida é
x = \frac{2ab}{a+b}.
  • Se a+b=0 com a\neq0, não há solução (fica impossível).
  • Se a=b=0, a equação vira \tfrac{x}{x}+\tfrac{x}{x}=2, que é identidade para todo x\neq0.

Resposta

Para a+b\neq0 e a\neq b:
x = \frac{2ab}{a+b}.
Caso a+b=0 com a\neq0: sem solução.
Caso a=b=0: toda x\neq0.

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