44 Resolva, na incógnita
, a equação
Passo 1
Estamos resolvendo a equação racional
onde
e
são constantes e o domínio exige
e
.
Passo 2
Reescrevemos cada fração como 1 mais uma parte fracionária. Observe que
e de modo análogo
Somando as duas expressões obtemos
Passo 3
Como a soma deve dar 2, a parte entre parênteses tem de ser zero:
Dividindo por 2, ficamos com
Passo 4
Para eliminar denominadores, colocamos sobre o mesmo denominador:
Desenvolvendo,
Logo,
desde que
.
Passo 5
Precisamos verificar o domínio
e
. A solução
é igual a somente se
, ou seja
ou
. Caso
, teríamos
, o que está fora do domínio, portanto não vale. De modo semelhante para
.
é igual a
Em resumo:
- Se
e , a única solução válida é
- Se
com , não há solução (fica impossível). - Se
, a equação vira , que é identidade para todo .
Resposta
Para
e
:
Caso
com
: sem solução.
Caso : toda
.
Caso