5.43 A onda \mathbf{E}^{\mathrm{i}}=\operatorname{Iocos}\left(2 \pi \times{ }_{10}{ }^{8} t-\beta_{\mathrm{r}} z\right) \mathbf{a}_{x} \mathrm{~V} / \mathrm{m} incide do ar num condutor de cobre. Encontre \mathbf{E}^{\mathrm{r}}, \mathbf{E}^{\mathrm{t}} e a densidade de potência média temporal transmitida na superfície.

Passo 1

O enunciado trata da incidência normal de uma onda eletromagnética plana do ar (meio 1) sobre um condutor de cobre (meio 2). A onda incidente é
\mathbf{E}^{\mathrm{i}}=I_{0}\cos\bigl(2\pi\times10^{8}t-\beta_{1}z\bigr)\,\mathbf{a}_{x}\quad\mathrm{V/m},
com frequência f=10^{8} Hz, impedância do ar \,Z_{1}=120\pi\approx377, \Omega, e queremos achar a onda refletida \mathbf{E}^{\mathrm{r}}, a transmitida \mathbf{E}^{\mathrm{t}} no cobre e a densidade de potência média transmitida na superfície z=0. Usaremos coeficientes de reflexão e transmissão normais e os parâmetros do condutor (condutividade \sigma\approx5{,}8\times10^{7}\,\mathrm{S/m}, permeabilidade \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H/m}).

Passo 2

Primeiro calculamos a constante de propagação no cobre e sua impedância intrínseca. Frequência angular
\omega=2\pi f=2\pi\times10^{8}\,\mathrm{rad/s}.
A profundidade de penetração (skin depth) é
\delta=\sqrt{\frac{2}{\omega\mu_{0}\sigma}} \approx6{,}6\times10^{-6}\,\mathrm{m},
e em bom condutor \alpha\approx\beta\approx1/\delta\approx1{,}5\times10^{5}\,\mathrm{m^{-1}}. A impedância intrínseca do cobre é
Z_{2}=(1+j)\sqrt{\frac{\omega\mu_{0}}{2\sigma}} \approx(1+j)\,2{,}61\times10^{-3}\\ \Omega.

Passo 3

O coeficiente de reflexão normal é
\Gamma=\frac{Z_{2}-Z_{1}}{Z_{2}+Z_{1}} \approx\frac{(1+j)2{,}61\times10^{-3}-377}{(1+j)2{,}61\times10^{-3}+377} \approx-0{,}99999\,+j\,6{,}9\times10^{-6}.
Como |\Gamma|\approx1 e \arg\Gamma\approx\pi, a onda refletida é
\mathbf{E}^{\mathrm{r}}(z,t) =I_{0}|\Gamma|\cos\bigl(\omega t+\beta_{1}z+\arg\Gamma\bigr)\,\mathbf{a}_{x} \approx-I_{0}\cos\bigl(2\pi\times10^{8}t+\beta_{1}z\bigr)\,\mathbf{a}_{x}.

Passo 4

O coeficiente de transmissão normal vale
\tau=\frac{2\,Z_{2}}{Z_{2}+Z_{1}} \approx\frac{2(1+j)2{,}61\times10^{-3}}{377} \approx(1+j)\,1{,}38\times10^{-5},
com módulo |\tau|\approx1{,}96\times10^{-5} e \arg\tau\approx45^\circ. Dentro do cobre, para z\ge0, a onda transmitida é
\mathbf{E}^{\mathrm{t}}(z,t) =|I_{0}\,\tau|\,e^{-\alpha z} \cos\bigl(\omega t-\beta z+\arg\tau\bigr)\,\mathbf{a}_{x}.

Passo 5

A densidade de potência média transmitida no plano z=0 é
\langle S_{z}(0)\rangle =\tfrac12\Re\bigl\{E_{t}(0)\,H_{t}(0)^{*}\bigr\} =\frac{|I_{0}\tau|^{2}}{2\,\Re\{Z_{2}\}}\cos\bigl(\arg Z_{2}\bigr).
Como \Re\{Z_{2}\}=2{,}61\times10^{-3}\,\Omega e \arg Z_{2}=45^\circ,
\langle S_{z}(0)\rangle \approx\frac{I_{0}^{2}\,(1{,}96\times10^{-5})^{2}}{2\times2{,}61\times10^{-3}}\times\frac{\sqrt2}{2} \approx3{,}7\times10^{-8}\,I_{0}^{2} \quad\mathrm{W/m^{2}}.

Resposta

\displaystyle\mathbf{E}^{\mathrm{r}}(z,t)\approx -\,I_{0}\cos\bigl(2\pi\times10^{8}t+\beta_{1}z\bigr)\,\mathbf{a}_{x} \displaystyle\mathbf{E}^{\mathrm{t}}(z,t) =I_{0}\,1{,}96\times10^{-5}\;e^{-1{,}5\times10^{5}z} \cos\!\bigl(2\pi\times10^{8}t-1{,}5\times10^{5}z+45^\circ\bigr) \,\mathbf{a}_{x} \displaystyle\langle S_{z}(0)\rangle\approx3{,}7\times10^{-8}\,I_{0}^{2}\;\mathrm{W/m^{2}}.

Exercícios relacionados