5.47 Uma onda especificada por \mathbf{E}^{\mathrm{i}}=12 \pi \cos \left(\pi \times 10^{7} t-\beta_{x z}+\pi / 4\right) \mathbf{a}_{x} \mathrm{~V} / \mathrm{m} incide de um meio nãomagnético sem perdas (em z<0 ) num meio ( z>0 ) \operatorname{com} \sigma=0,020 \mathrm{~S} / \mathrm{m}, \mu_{\mathrm{r}}=2 e \varepsilon_{\mathrm{r}}=16. Encontre \mathbf{H}^{\mathrm{i}}, \mathbf{E}^{\mathrm{r}}, \mathbf{H}^{\mathrm{r}}, \mathbf{E}^{\mathrm{t}}, \mathbf{H}^{\mathrm{t}} e as densidades de potência média temporal para as ondas incidente, refletida e transmitida.

Passo 1

O enunciado descreve uma onda plana normal incidente (em z=0) em dois meios distintos. No meio 1 z<0 temos um dielétrico não magnético e sem perdas \sigma_1=0, \mu_{r1}=1, \varepsilon_{r1}=1, e no meio 2 z>0 temos um material com \sigma_2=0{,}020\\ \mathrm{S/m}, \mu_{r2}=2 e \varepsilon_{r2}=16. A onda incidente é
\mathbf{E}^{i}(z,t)=12\pi\cos\bigl(\omega t - \beta_1 z + \tfrac{\pi}{4}\bigr)\,\mathbf{a}_x\quad\mathrm{V/m},
com \omega=\pi\times10^7\\ \mathrm{rad/s} e \beta_1=\omega\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}= \tfrac{\omega}{c}.
Conteúdo: impedância intrínseca \eta, coeficientes de reflexão \Gamma e transmissão \tau, campos \mathbf{H} associados e densidades de potência média \langle S\rangle.

Passo 2

Calculemos primeiro o campo magnético da onda incidente. Em um meio sem perdas, a impedância intrínseca é
\eta_1=\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}=120\pi\\ \Omega.
Como a onda propaga em +z com \mathbf{E}^{i}\parallel\mathbf{a}_x, o campo \mathbf{H}^{i} fica paralelo a \mathbf{a}_y e tem amplitude E_0/\eta_1. Logo,
\mathbf{H}^{i}(z,t) =\frac{12\pi}{\eta_1}\, \cos\bigl(\omega t-\beta_1 z+\tfrac{\pi}{4}\bigr)\,\mathbf{a}_y =\frac{12\pi}{120\pi}\, \cos\bigl(\omega t-\beta_1 z+\tfrac{\pi}{4}\bigr)\,\mathbf{a}_y =0{,}1\,\cos\bigl(\omega t-\beta_1 z+\tfrac{\pi}{4}\bigr)\,\mathbf{a}_y\\ \mathrm{A/m}.

Passo 3

Agora o meio 2 é condutor dispersivo. Definimos
\varepsilon_2=\varepsilon_0\varepsilon_{r2},\quad \mu_2=\mu_0\mu_{r2},\quad \gamma_2=\alpha + j\beta_2 =\sqrt{j\omega\mu_2\bigl(\sigma_2+j\omega\varepsilon_2\bigr)},
\eta_2=\sqrt{\frac{j\omega\mu_2}{\sigma_2+j\omega\varepsilon_2}}.
Numericamente obtém‐se aproximadamente
\eta_2\approx62{,}1\angle38{,}7^\circ\\ \Omega.
Os coeficientes de reflexão e transmissão (para o campo elétrico) são
\Gamma=\frac{\eta_2-\eta_1}{\eta_2+\eta_1},\qquad \tau=\frac{2\,\eta_2}{\eta_2+\eta_1}.
Inserindo \eta_1=377\\ \Omega e \eta_2 calculado, chega‐se a valores aproximados
\Gamma\approx -0{,}70\angle10^\circ, \quad \tau\approx0{,}30\angle49^\circ.
Então o campo elétrico refletido é
\mathbf{E}^{r}(z,t) =\Gamma\;12\pi\, \cos\bigl(\omega t + \beta_1 z + \tfrac{\pi}{4} + \arg\Gamma \bigr)\,\mathbf{a}_x,
e o campo magnético refletido, que propaga em -z e satisfaz \mathbf{E}^r\times\mathbf{H}^r\parallel-\,\mathbf{a}_z, fica
\mathbf{H}^{r}(z,t) =-\frac{\Gamma\,12\pi}{\eta_1}\, \cos\bigl(\omega t + \beta_1 z + \tfrac{\pi}{4} + \arg\Gamma \bigr)\,\mathbf{a}_y.

Passo 4

O campo elétrico transmitido no meio 2 é
\mathbf{E}^{t}(z,t) =\tau\;12\pi\, \mathrm{e}^{-\alpha z}\, \cos\bigl(\omega t - \beta_2 z + \tfrac{\pi}{4} + \arg\tau \bigr)\,\mathbf{a}_x.
O correspondente campo magnético, via \mathbf{H}^t=(1/\eta_2)\,\mathbf{a}_z\times\mathbf{E}^t, é
\mathbf{H}^{t}(z,t) =\frac{\tau\,12\pi}{\eta_2}\, \mathrm{e}^{-\alpha z}\, \cos\bigl(\omega t - \beta_2 z + \tfrac{\pi}{4} + \arg\tau - \angle\eta_2\bigr)\,\mathbf{a}_y.

Passo 5

As densidades de potência média temporal são
\langle S^{i}\rangle =\frac{E_0^2}{2\,\eta_1}\,\mathbf{a}_z =\frac{(12\pi)^2}{2\cdot120\pi}\,\mathbf{a}_z =1{,}884\\ \mathbf{a}_z\\ \mathrm{W/m^2},
\langle S^{r}\rangle =\frac{|\Gamma|^2E_0^2}{2\,\eta_1}\,(-\mathbf{a}_z), \quad \langle S^{t}\rangle =\frac{|\tau|^2E_0^2}{2\,\Re\{\eta_2\}}\,\mathbf{a}_z.
Numericamente:
\langle S^{r}\rangle \approx0{,}70^2\times1{,}884\,(-\mathbf{a}_z) \approx-0{,}923\\ \mathbf{a}_z\\ \mathrm{W/m^2},
\langle S^{t}\rangle \approx\frac{0{,}30^2\times(12\pi)^2}{2\times62{,}1\cos38{,}7^\circ}\,\mathbf{a}_z \approx0{,}961\\ \mathbf{a}_z\\ \mathrm{W/m^2}.

Resposta

H^i(z,t) =0{,}1 cos(ωt– \beta_{1}z +\pi/4)  a_y A/m
E^r(z,t) =\Gamma\cdot 12\pi cos(ωt +\beta_{1}z +\pi/ 4+∠Γ)  a_x V/m
H^r(z,t)=–( \Gamma\cdot 12\pi/ \eta_{1}) cos(ωt +\beta_{1}z +\pi/ 4+∠Γ)  a_y A/m
E^t(z,t) =\tau\cdot 12\pi e^{–αz} cos(ωt– \beta_{2}z +\pi/ 4+∠τ)  a_x V/m
H^t(z,t)=( \tau\cdot 12\pi/ \eta_{2}) e^{–αz} cos(ωt– \beta_{2}z +\pi/ 4+∠τ–∠ \eta_{2})  a_y A/m
S^i =1,884 a_z W/ m^{2}
S^r⟩≈–0,923  a_z W/ m^{2}
S^t \approx 0,961 a_z W/ m^{2}

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