(A.43) Sejam A e B dois conjuntos finitos. Provar que
\#(A \cup B)=\# A+\# B-\#(A \cap B) .

Passo 1

O enunciado dá exatamente isto:
  • Dois conjuntos finitos A e B.
  • Pede provar a identidade
\#(A\cup B)=\#A+\#B-\#(A\cap B).
Vou listar claramente o que se pede e o que é dado:
  • Dado: A e B são finitos (logo têm número finito de elementos).
  • Pedido: demonstrar a igualdade acima entre as cardinalidades (números de elementos) dos conjuntos.

Passo 2

Vamos lembrar (explicar) alguns conceitos e uma propriedade básica que usarei passo a passo.
Definições e fatos úteis:
  • \#X significa o número de elementos do conjunto X (cardinalidade).
  • A diferença de conjuntos \,A\setminus B\, é o conjunto dos elementos que estão em A e não estão em B.
  • Dois conjuntos C e D são disjuntos quando C\cap D=\varnothing (sem elemento em comum).
  • Propriedade básica de contagem (que aceitamos/explanamos aqui): se C e D são conjuntos finitos e disjuntos então
\#(C\cup D)=\#C+\#D.
Explicação dessa propriedade: como C e D não têm elementos em comum, ao formar C\cup D cada elemento vem ou de C ou de D, sem duplicação; portanto o total é a soma dos totais. Formalmente pode-se construir uma enumeração dos elementos de C\cup D listando primeiro os de C depois os de D, obtendo \#C+\#D elementos no total.

Passo 3

Fazer uma decomposição útil de A\cup B em partes disjuntas.
Qualquer elemento x\in A\cup B pertence a pelo menos um dos conjuntos A ou B. Há exatamente três casos mutuamente exclusivos para um x:
  1. x\in A e x\notin B (ou seja, x\in A\setminus B);
  2. x\in B e x\notin A (ou seja, x\in B\setminus A);
  3. x\in A e x\in B (ou seja, x\in A\cap B).
Esses três conjuntos são mutuamente disjuntos (não se sobrepõem):
  • (A\setminus B)\cap(B\setminus A)=\varnothing claramente;
  • (A\setminus B)\cap(A\cap B)=\varnothing porque A\setminus B não tem elementos de B;
  • (B\setminus A)\cap(A\cap B)=\varnothing por analogia.
Portanto podemos escrever a união como união disjunta destas três partes:
A\cup B=(A\setminus B)\;\cup\;(B\setminus A)\;\cup\;(A\cap B),
com as três partes sendo disjuntas entre si.

Passo 4

Aplicar a propriedade de soma de cardinalidades para união de conjuntos disjuntos.
Como as três partes são disjuntas e finitas, podemos somar suas cardinalidades:
\#(A\cup B)=\#(A\setminus B)+\#(B\setminus A)+\#(A\cap B).

Passo 5

Expressar \#A e \#B em termos das mesmas partes.
Repare que A se decompõe em duas partes disjuntas:
A=(A\setminus B)\cup (A\cap B),
portanto, pela propriedade de soma:
\#A=\#(A\setminus B)+\#(A\cap B).
Analogamente,
\#B=\#(B\setminus A)+\#(A\cap B).

Passo 6

Somar \#A e \#B e relacionar com \#(A\cup B).
Somando as duas igualdades do passo anterior:
\#A+\#B=\bigl(\#(A\setminus B)+\#(A\cap B)\bigr)+\bigl(\#(B\setminus A)+\#(A\cap B)\bigr).
Agrupando termos:
\#A+\#B=\#(A\setminus B)+\#(B\setminus A)+2\#(A\cap B).
Comparando com a expressão do passo 4,
\#(A\cup B)=\#(A\setminus B)+\#(B\setminus A)+\#(A\cap B),
vemos que a soma \#A+\#B tem exatamente um \#(A\cap B) a mais do que \#(A\cup B). Subtraindo \#(A\cap B) de ambos os lados da expressão para \#A+\#B obtemos:
\#A+\#B-\#(A\cap B)=\#(A\setminus B)+\#(B\setminus A)+\#(A\cap B)=\#(A\cup B).

Passo 7

Interpretação curta e alternativa (intuitiva):
  • Ao somar \#A+\#B conta-se cada elemento que está em A\cap B duas vezes (uma vez em A e outra em B). Para corrigir essa dupla contagem, subtrai-se \#(A\cap B) uma vez. Isso leva diretamente à fórmula desejada.

Resposta

\#(A\cup B)=\#A+\#B-\#(A\cap B)

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