Segunda Questão (2,5pts): Considere a interseção do parabolóide elíptico
14 z=x^{2}+5 y^{2}
com o parabolóide hiperbólico
14 z=2 x^{2}-4 y^{2}
Seja C o trecho dessa interseção que liga os pontos (0,0,0) a (3,1,1). Suponha que C represente um fio material com densidade linear de massa dada pela função x.
(a) (1,0 ponto) Parametrize C.
(b) (1,5 ponto) Cacule a massa total do fio.

Passo 1

Vou identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dadas as superfícies: 14z = x^{2} + 5y^{2}e 14z = 2x^{2} - 4y^{2}.
  • A curva C é a interseção dessas duas superfícies e é o trecho dessa interseção que liga os pontos (0,0,0) e (3,1,1).
  • A densidade linear do fio é dada por \lambda(x)=x (ou seja, em cada ponto do fio a densidade depende apenas da coordenada x).
O enunciado pede:
(a) parametrizar C;
(b) calcular a massa total do fio com densidade \lambda(x)=x.

Passo 2

Primeiro encontro a equação da curva de interseção: igualo as duas expressões de 14z.
x^{2}+5y^{2}=2x^{2}-4y^{2}.
Rearranjando os termos:
0 = 2x^{2}-4y^{2} - (x^{2}+5y^{2}) = x^{2} - 9y^{2}.
Logo
x^{2} = 9y^{2},
ou seja
x = \pm 3y.

Passo 3

Agora escolho o ramo da interseção que liga (0,0,0) a (3,1,1). Note que o ponto (3,1,1) satisfaz x=3y (pois 3=3\cdot1), então a porção de C que nos interessa corresponde a x=3y (não ao sinal negativo).
Substituo x=3y em uma das equações para obter z. Usando 14z = x^{2}+5y^{2}:
14z = (3y)^{2} + 5y^{2} = 9y^{2} + 5y^{2} = 14y^{2},
portanto
z = y^{2}.

Passo 4

Escolho t como parâmetro igual a y. Assim tomo
y(t) = t.
Então
x(t) = 3t,\qquad z(t) = t^{2}.
Para ir de (0,0,0) até (3,1,1) preciso que t vá de 0 até 1. Portanto uma parametrização conveniente é
\mathbf{r}(t) = (x(t),y(t),z(t)) = (3t,\; t,\; t^{2}),\qquad 0\le t\le 1.

Passo 5

Agora calculo a massa. Fórmula: se uma curva é parametrizada por \mathbf{r}(t) em a\le t\le b e a densidade linear é \lambda(x) (função da coordenada x), então a massa é
M = \int_{a}^{b} \lambda\big(x(t)\big)\,\big\|\mathbf{r}'(t)\big\|\,dt,
onde \big\|\mathbf{r}'(t)\big\|=\sqrt{\big(x'(t)\big)^{2}+\big(y'(t)\big)^{2}+\big(z'(t)\big)^{2}}.
Para nossa parametrização:
\mathbf{r}'(t) = (3,\;1,\;2t),
logo
\big\|\mathbf{r}'(t)\big\| = \sqrt{3^{2}+1^{2}+(2t)^{2}} = \sqrt{9+1+4t^{2}} = \sqrt{10+4t^{2}}.
A densidade é \lambda(x)=x, e como x(t)=3t temos \lambda(x(t))=3t. Assim
M = \int_{0}^{1} 3t\,\sqrt{10+4t^{2}}\,dt.

Passo 6

Faço a integral usando substituição. Seja
u = 10 + 4t^{2}\quad\Rightarrow\quad du = 8t\,dt\quad\Rightarrow\quad t\,dt = \frac{du}{8}.
Quando t=0 temos u=10. Quando t=1 temos u=14. Substituindo na integral:
M = \int_{0}^{1} 3t\,\sqrt{10+4t^{2}}\,dt = 3\int_{0}^{1} t\,\sqrt{u}\,\frac{du}{8} = \frac{3}{8}\int_{10}^{14} u^{1/2}\,du.
Integro:
\int u^{1/2}\,du = \frac{2}{3}u^{3/2},
portanto
M = \frac{3}{8}\cdot\frac{2}{3}\Big[u^{3/2}\Big]_{10}^{14} = \frac{1}{4}\big(14^{3/2}-10^{3/2}\big).
Posso escrever 14^{3/2}=14\sqrt{14} e 10^{3/2}=10\sqrt{10}, logo
M = \frac{1}{4}\big(14\sqrt{14}-10\sqrt{10}\big) = \frac{1}{2}\big(7\sqrt{14}-5\sqrt{10}\big).

Resposta

(a) \mathbf{r}(t)=(3t,\;t,\;t^{2}),\quad 0\le t\le1\n
(b) M=\dfrac{1}{4}\big(14\sqrt{14}-10\sqrt{10}\big)=\dfrac{1}{2}\big(7\sqrt{14}-5\sqrt{10}\big)

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