Segunda Questão (2,5pts): Considere a interseção do parabolóide elíptico
14 z=x^{2}+5 y^{2}
com o parabolóide hiperbólico
14 z=2 x^{2}-4 y^{2}
Seja C o trecho dessa interseção que liga os pontos (0,0,0) a (3,1,1). Suponha que C represente um fio material com densidade linear de massa dada pela função x.
(a) (1,0 ponto) Parametrize C.
(b) (1,5 ponto) Cacule a massa total do fio.
Passo 1
Vou identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Agora escolho o ramo da interseção que liga (0,0,0) a (3,1,1). Note que o ponto (3,1,1) satisfaz x=3y (pois 3=3\cdot1), então a porção de C que nos interessa corresponde a x=3y (não ao sinal negativo).
Substituo x=3y em uma das equações para obter z. Usando 14z = x^{2}+5y^{2}:
Agora calculo a massa. Fórmula: se uma curva é parametrizada por \mathbf{r}(t) em a\le t\le b e a densidade linear é \lambda(x) (função da coordenada x), então a massa é
M = \int_{a}^{b} \lambda\big(x(t)\big)\,\big\|\mathbf{r}'(t)\big\|\,dt,
onde \big\|\mathbf{r}'(t)\big\|=\sqrt{\big(x'(t)\big)^{2}+\big(y'(t)\big)^{2}+\big(z'(t)\big)^{2}}.