3.43 Três meninos e três meninas sentam-se em fila. Encontre a probabilidade (i) das 3 meninas sentarem juntas, (ii) dos meninos e das meninas sentarem em lugares alternados.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos.
  • Temos 3 meninos e 3 meninas que se sentam em fila (todas as pessoas são distintas).
  • O enunciado faz duas perguntas:
    (i) qual a probabilidade de as 3 meninas sentarem juntas (ou seja, em três cadeiras consecutivas);
    (ii) qual a probabilidade de meninos e meninas sentarem alternados (ou seja, B G B G B G ou G B G B G B).
    Nada mais é necessário além dessas informações.

Passo 2

Vamos definir o espaço amostral (total de configurações possíveis) para colocar a base do cálculo de probabilidade.
  • Quando temos n objetos distintos e queremos ordená‑los em fila, o número de permutações é dado por n! (lê‑se “ n fatorial”), onde
n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot1.
  • Aqui n=6 (as 3 meninos + 3 meninas), logo o total de maneiras distintas de sentar é
6!.
  • Vamos calcular 6!:
6! = 6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 720.
Portanto o denominador da probabilidade será 720.

Passo 3

Explico a regra de contagem que vamos usar (regra do produto) e como ela se aplica: se uma escolha pode ser feita em a maneiras e, para cada uma, outra escolha pode ser feita em b maneiras independentes, então as duas escolhas juntas têm a\cdot b maneiras. Também uso a ideia de “bloco” quando queremos forçar elementos consecutivos.

Passo 4

Contagem dos casos favoráveis para (i): as 3 meninas sentarem juntas.
  • Trato as 3 meninas como um único bloco (que chamarei de bloco M). Junto com os 3 meninos individuais, isso dá 4 entidades a serem ordenadas: M e os 3 meninos.
  • O número de arranjos dessas 4 entidades é 4!.
  • Dentro do bloco M, as 3 meninas podem se permutar entre si de 3! maneiras.
  • Pelo princípio do produto, o total de arranjos em que as 3 meninas ficam juntas é
4!\cdot 3!.
  • Calculando valores:
4! = 24,\qquad 3! = 6,
4!\cdot 3! = 24\cdot6 = 144.
Portanto há 144 arranjos favoráveis ao evento (i).

Passo 5

Cálculo da probabilidade do item (i).
  • A probabilidade é a razão entre casos favoráveis e casos totais, então
P(\text{3 meninas juntas}) = \frac{144}{720}.
  • Simplificando a fração:
\frac{144}{720} = \frac{1}{5} = 0{,}2.

Passo 6

Contagem dos casos favoráveis para (ii): meninos e meninas alternados.
  • Com 3 meninos e 3 meninas, as filas alternadas possíveis têm exatamente dois padrões de posições:
    • Começando por menino: B G B G B G
    • Começando por menina: G B G B G B
      (só esses dois padrões permitem alternância completa)
  • Para cada padrão, os 3 meninos ocupam as 3 posições reservadas aos meninos em qualquer ordem: isso dá 3! maneiras.
  • De modo análogo, as 3 meninas podem ser permutadas entre as 3 posições femininas em 3! maneiras.
  • Portanto, para cada padrão temos 3!\cdot3! arranjos, e como existem 2 padrões, o total favorável é
2\cdot 3!\cdot 3!.
  • Calculando:
3! = 6,
2\cdot 3!\cdot 3! = 2\cdot 6\cdot 6 = 72.
Logo há 72 arranjos favoráveis ao evento (ii).

Passo 7

Cálculo da probabilidade do item (ii).
  • Novamente razão entre favoráveis e total:
P(\text{alternados}) = \frac{72}{720}.
  • Simplificando:
\frac{72}{720} = \frac{1}{10} = 0{,}1.

Passo 8

Recapitulando de forma curta (para fixar a técnica que vale em provas):
  • Sempre identifique o espaço amostral total ( 6! aqui).
  • Para “itens juntos”, use a ideia de bloco e multiplique pelas permutações internas do bloco.
  • Para padrões (como alternância), conte os padrões possíveis e multiplique pelas permutações de cada tipo dentro do padrão.
  • Depois aplique P=\dfrac{\text{favoráveis}}{\text{total}}á.

Resposta

\text{(i)}\\ \dfrac{1}{5}=0{,}2
\text{(ii)}\\ \dfrac{1}{10}=0{,}1

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