3.43 Três meninos e três meninas sentam-se em fila. Encontre a probabilidade (i) das 3 meninas sentarem juntas, (ii) dos meninos e das meninas sentarem em lugares alternados.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos.
- Temos
meninos e meninas que se sentam em fila (todas as pessoas são distintas). - O enunciado faz duas perguntas:
(i) qual a probabilidade de asmeninas sentarem juntas (ou seja, em três cadeiras consecutivas);
(ii) qual a probabilidade de meninos e meninas sentarem alternados (ou seja, B G B G B G ou G B G B G B).
Nada mais é necessário além dessas informações.
Passo 2
Vamos definir o espaço amostral (total de configurações possíveis) para colocar a base do cálculo de probabilidade.
- Quando temos
objetos distintos e queremos ordená‑los em fila, o número de permutações é dado por (lê‑se “ fatorial”), onde
- Aqui
(as meninos + meninas), logo o total de maneiras distintas de sentar é
- Vamos calcular
:
Portanto o denominador da probabilidade será
.
Passo 3
Explico a regra de contagem que vamos usar (regra do produto) e como ela se aplica: se uma escolha pode ser feita em
maneiras e, para cada uma, outra escolha pode ser feita em
maneiras independentes, então as duas escolhas juntas têm
maneiras. Também uso a ideia de “bloco” quando queremos forçar elementos consecutivos.
Passo 4
Contagem dos casos favoráveis para (i): as
meninas sentarem juntas.
- Trato as
meninas como um único bloco (que chamarei de bloco ). Junto com os meninos individuais, isso dá entidades a serem ordenadas: e os meninos. - O número de arranjos dessas
entidades é . - Dentro do bloco
, as meninas podem se permutar entre si de maneiras. - Pelo princípio do produto, o total de arranjos em que as
meninas ficam juntas é
- Calculando valores:
Portanto há
arranjos favoráveis ao evento (i).
Passo 5
Cálculo da probabilidade do item (i).
- A probabilidade é a razão entre casos favoráveis e casos totais, então
- Simplificando a fração:
Passo 6
Contagem dos casos favoráveis para (ii): meninos e meninas alternados.
- Com
meninos e meninas, as filas alternadas possíveis têm exatamente dois padrões de posições: - Começando por menino: B G B G B G
- Começando por menina: G B G B G B
(só esses dois padrões permitem alternância completa)
- Para cada padrão, os
meninos ocupam as posições reservadas aos meninos em qualquer ordem: isso dá maneiras. - De modo análogo, as
meninas podem ser permutadas entre as posições femininas em maneiras. - Portanto, para cada padrão temos
arranjos, e como existem padrões, o total favorável é
- Calculando:
Logo há
arranjos favoráveis ao evento (ii).
Passo 7
Cálculo da probabilidade do item (ii).
- Novamente razão entre favoráveis e total:
- Simplificando:
Passo 8
Recapitulando de forma curta (para fixar a técnica que vale em provas):
- Sempre identifique o espaço amostral total (
aqui). - Para “itens juntos”, use a ideia de bloco e multiplique pelas permutações internas do bloco.
- Para padrões (como alternância), conte os padrões possíveis e multiplique pelas permutações de cada tipo dentro do padrão.
- Depois aplique
.