Uma moeda de diâmetro
é lançada aleatoriamente sobre o plano cartesiano
. Encontre a probabilidade de a moeda nāo interceptar as retas, cujas equações são da forma
,
, (c)
ou
. (Aqui
é um inteiro.)
Passo 1
O enunciado dá uma moeda de diâmetro
, logo o raio vale
. A moeda é lançada aleatoriamente sobre o plano
— isso significa que, por invariância por translação das retas dadas, basta examinar a posição do centro da moeda módulo a malha periódica de cada família de retas.
As perguntas são:
(a) qual é a probabilidade de a moeda não interceptar as retas de equação para inteiros
?
(b) qual é a probabilidade de a moeda não interceptar as retas de equação para inteiros
?
(c) qual é a probabilidade de a moeda não interceptar nenhuma das retas de equações ou
para inteiros
?
(a) qual é a probabilidade de a moeda não interceptar as retas de equação
(b) qual é a probabilidade de a moeda não interceptar as retas de equação
(c) qual é a probabilidade de a moeda não interceptar nenhuma das retas de equações
Informações relevantes dadas:
- raio da moeda:
; - as famílias de retas são periódicas com período espacial conhecido (veremos cada período);
- por homogeneidade do plano, podemos tomar a posição do centro da moeda uniformemente distribuída numa célula fundamental (intervalo ou quadrado) correspondente ao período da família de retas.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicação didática): quando temos um conjunto de retas periódicas (por exemplo todas as retas
com
), a condição “a moeda não intercepta nenhuma reta da família” depende apenas da posição do centro da moeda relativa à malha periódica. Assim podemos escolher uma célula fundamental (um intervalo de comprimento
no caso das retas verticais, ou um quadrado unitário no caso das retas verticais e horizontais juntas, ou um segmento de comprimento igual ao espaçamento entre linhas no eixo normal para as retas inclinadas) e calcular a probabilidade como razão de comprimentos/áreas permitidas pela célula. Essa é uma técnica padrão: reduzir ao problema de medir a fração da célula onde a condição é satisfeita.
Vou aplicar isso família a família.
Passo 3
Caso (a): retas
.
- Distância de um ponto
a uma reta vertical é . - Para a moeda não interceptar qualquer reta
é preciso que a distância do centro à reta vertical inteira mais próxima seja maior que o raio . - Como as retas
repetem-se com período na direção , basta olhar a coordenada módulo ; escrevendo (parte fracionária de , com ), a distância até o inteiro mais próximo é . - Condição:
. Isso equivale a - A medida deste intervalo é
. Como é uniformemente distribuído em , a probabilidade desejada é
Passo 4
Caso (b): retas
.
- Primeiro, fórmula da distância ponto‑reta (explicação didática): para uma reta dada por
, a distância do ponto à reta é No nosso caso cada reta é , ou seja , , . - Assim a distância do ponto
à reta é - As retas
são paralelas entre si e separadas, ao longo da direção normal, por um espaçamento igual a (isto é, ao aumentar de para desloca-se a linha uma distância ao longo da normal.) - Portanto é suficiente olhar o valor de
módulo o período . Escrevendo a parte modular em , a distância até a reta inteira mais próxima é . - Condição para a moeda não interceptar nenhuma reta
: Isso é equivalente a - O comprimento do intervalo permitido é
Como o período total vale , a probabilidade é a razão - Simplificando
, obtemos
Passo 5
Pequeno comentário numérico (opcional, só para intuição):
. Ou seja cerca de
.
Passo 6
Caso (c): retas
ou
(malha quadrada).
- Agora a moeda não deve interceptar nenhuma reta vertical
nem nenhuma reta horizontal . - Pelas mesmas razões do item (a), para não interceptar as verticais precisamos ter a parte fracionária de
no intervalo , e para não interceptar as horizontais precisamos ter a parte fracionária de no mesmo intervalo . - Como
e são independentes e uniformes modulo (o centro é uniformemente distribuído no quadrado unitário), a probabilidade conjunta é o produto das probabilidades: - Geometricamente: dentro do quadrado unitário a região permitida é um quadrado central de lado
, cuja área é .
Passo 7
Resumo das ideias usadas (rápido recap): reduzir à célula fundamental por periodicidade; usar a fórmula distância ponto‑reta quando necessário; calcular a fração do período (comprimento ou área) onde a distância mínima até as retas é maior que o raio
.