Uma moeda de diâmetro \frac{1}{2} é lançada aleatoriamente sobre o plano cartesiano \mathbf{R}^{2}. Encontre a probabilidade de a moeda nāo interceptar as retas, cujas equações são da forma (a) x=k, (b) x+y=k, (c) x=k ou y=k. (Aqui k é um inteiro.)

Passo 1

O enunciado dá uma moeda de diâmetro \tfrac{1}{2}, logo o raio vale \tfrac{1}{4}. A moeda é lançada aleatoriamente sobre o plano \mathbf{R}^2 — isso significa que, por invariância por translação das retas dadas, basta examinar a posição do centro da moeda módulo a malha periódica de cada família de retas.
As perguntas são:
(a) qual é a probabilidade de a moeda não interceptar as retas de equação x=k para inteiros k?
(b) qual é a probabilidade de a moeda não interceptar as retas de equação x+y=k para inteiros k?
(c) qual é a probabilidade de a moeda não interceptar nenhuma das retas de equações x=k ou y=k para inteiros k?
Informações relevantes dadas:
  • raio da moeda: \tfrac{1}{4};
  • as famílias de retas são periódicas com período espacial conhecido (veremos cada período);
  • por homogeneidade do plano, podemos tomar a posição do centro da moeda uniformemente distribuída numa célula fundamental (intervalo ou quadrado) correspondente ao período da família de retas.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação didática): quando temos um conjunto de retas periódicas (por exemplo todas as retas x=k com k\in\mathbb{Z}), a condição “a moeda não intercepta nenhuma reta da família” depende apenas da posição do centro da moeda relativa à malha periódica. Assim podemos escolher uma célula fundamental (um intervalo de comprimento 1 no caso das retas verticais, ou um quadrado unitário no caso das retas verticais e horizontais juntas, ou um segmento de comprimento igual ao espaçamento entre linhas no eixo normal para as retas inclinadas) e calcular a probabilidade como razão de comprimentos/áreas permitidas pela célula. Essa é uma técnica padrão: reduzir ao problema de medir a fração da célula onde a condição é satisfeita.
Vou aplicar isso família a família.

Passo 3

Caso (a): retas x=k.
  • Distância de um ponto (x,y) a uma reta vertical x=k é |x-k|.
  • Para a moeda não interceptar qualquer reta x=k é preciso que a distância do centro à reta vertical inteira mais próxima seja maior que o raio \tfrac{1}{4}.
  • Como as retas x=k repetem-se com período 1 na direção x, basta olhar a coordenada x módulo 1; escrevendo u=\{x\} (parte fracionária de x, com u\in[0,1)), a distância até o inteiro mais próximo é \min(u,1-u).
  • Condição: \min(u,1-u)>\tfrac{1}{4}. Isso equivale a u\in\left(\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{4}\right).
  • A medida deste intervalo é \tfrac{3}{4}-\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{2}. Como u é uniformemente distribuído em [0,1), a probabilidade desejada é \boxed{\tfrac{1}{2}}.

Passo 4

Caso (b): retas x+y=k.
  • Primeiro, fórmula da distância ponto‑reta (explicação didática): para uma reta dada por ax+by+c=0, a distância do ponto (x_0,y_0) à reta é \frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.No nosso caso cada reta é x+y-k=0, ou seja a=1, b=1, c=-k.
  • Assim a distância do ponto (x,y) à reta x+y=k é \frac{|x+y-k|}{\sqrt{2}}.
  • As retas x+y=k são paralelas entre si e separadas, ao longo da direção normal, por um espaçamento igual a \frac{1}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.(isto é, ao aumentar k de k para k+1 desloca-se a linha uma distância 1/\sqrt{2} ao longo da normal.)
  • Portanto é suficiente olhar o valor de \displaystyle t=\frac{x+y}{\sqrt{2}} módulo o período 1/\sqrt{2}. Escrevendo v a parte modular em [0,1/\sqrt{2}), a distância até a reta inteira mais próxima é \min(v,\,1/\sqrt{2}-v).
  • Condição para a moeda não interceptar nenhuma reta x+y=k: \min\!\bigl(v,\,1/\sqrt{2}-v\bigr)>\tfrac{1}{4}.Isso é equivalente a v\in\left(\tfrac{1}{4},\;\tfrac{1}{\sqrt{2}}-\tfrac{1}{4}\right).
  • O comprimento do intervalo permitido é \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2}.Como o período total vale \tfrac{1}{\sqrt{2}}, a probabilidade é a razão \frac{\tfrac{1}{\sqrt{2}}-\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{\sqrt{2}}} =1-\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{\sqrt{2}}} =1-\frac{\sqrt{2}}{2}.
  • Simplificando \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, obtemos \boxed{1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}}.

Passo 5

Pequeno comentário numérico (opcional, só para intuição): 1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\approx 1-0{,}7071\approx 0{,}2929. Ou seja cerca de 29{,}3\%.

Passo 6

Caso (c): retas x=k ou y=k (malha quadrada).
  • Agora a moeda não deve interceptar nenhuma reta vertical x=k nem nenhuma reta horizontal y=k.
  • Pelas mesmas razões do item (a), para não interceptar as verticais precisamos ter a parte fracionária de x no intervalo \left(\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{4}\right), e para não interceptar as horizontais precisamos ter a parte fracionária de y no mesmo intervalo \left(\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{4}\right).
  • Como x e y são independentes e uniformes modulo 1 (o centro é uniformemente distribuído no quadrado unitário), a probabilidade conjunta é o produto das probabilidades: \left(\tfrac{1}{2}\right)\left(\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{1}{4}.
  • Geometricamente: dentro do quadrado unitário a região permitida é um quadrado central de lado \tfrac{1}{2}, cuja área é \tfrac{1}{4}.

Passo 7

Resumo das ideias usadas (rápido recap): reduzir à célula fundamental por periodicidade; usar a fórmula distância ponto‑reta quando necessário; calcular a fração do período (comprimento ou área) onde a distância mínima até as retas é maior que o raio \tfrac{1}{4}.

Resposta

\tfrac{1}{2}
1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}
\tfrac{1}{4}

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