3.41 Lança-se um par de dados não-viciados. Encontre a probabilidade de o máximo dos dois números ser maior do que 4.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a probabilidade de que o máximo dos números obtidos ao lançar dois dados não-viciados seja maior do que 4.
Informações dadas (todas importantes):
  • São lançados dois dados justos (não-viciados).
  • Cada dado tem possíveis resultados \{1,2,3,4,5,6\}.
  • Os lançamentos são independentes (o resultado de um não afeta o outro).
  • Como cada dado tem 6 faces e os resultados são todos igualmente prováveis, o espaço amostral tem 6\times6 resultados possíveis.

Passo 2

Estratégia (por que escolher este caminho): é mais simples usar a regra do complementar. A ideia é:
  • Em vez de contar diretamente os casos em que o máximo é maior que 4, contamos os casos onde o máximo NÃO é maior que 4 (ou seja, o máximo é \le 4), e subtraímos essa probabilidade de 1.
    A regra do complementar é:
P(A)=1-P(A^c),
onde A^c é o evento complementar de A.
Explicando o que é o evento complementar aqui:
  • Evento A: "o máximo dos dois números é maior do que 4".
  • Evento A^c: "o máximo dos dois números é menor ou igual a 4". Isso significa que ambos os dados mostram valores em \{1,2,3,4\}.

Passo 3

Contagem do espaço amostral: Como os dois dados são independentes e cada um tem 6 resultados, o número total de resultados igualmente prováveis é
6\times6=36.
Agora contamos os resultados em que ambos os dados são \le4 (evento A^c). Cada dado tem 4 resultados possíveis em \{1,2,3,4\}, logo o número de pares com ambos \le4 é
4\times4=16.
Portanto, o número de resultados em que o máximo é \le4 é 16.

Passo 4

Aplicando o complementar: o número de resultados onde o máximo é maior que 4 é o complemento em relação a 36, ou seja
36-16=20.
Assim, a probabilidade pedida é o número de casos favoráveis dividido pelo total:
P(\text{o máximo} > 4)=\frac{20}{36}.á

Passo 5

Simplificação da fração: podemos simplificar \dfrac{20}{36} dividindo numerador e denominador por 4:
\frac{20}{36}=\frac{20\div4}{36\div4}=\frac{5}{9}.

Passo 6

Verificação alternativa (opcional, só para ficar seguro): contar separadamente os casos em que o máximo é 5 e os que o máximo é 6.
  • Máximo igual a 5: são todos os pares em que ambos os valores \le5 e pelo menos um é 5. O número de pares com ambos \le5 é 5\times5=25. Destes, os com ambos \le4 já contados são 16. Logo casos com máximo 5 são 25-16=9.
  • Máximo igual a 6: pares com ambos \le6 são 36; subtrai-se os com ambos \le5 que são 25; então 36-25=11.
Somando 9+11=20 casos favoráveis, que dá novamente \dfrac{20}{36}=\dfrac{5}{9}. Confere.

Resposta

\dfrac{5}{9}

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