3.41 Lança-se um par de dados não-viciados. Encontre a probabilidade de o máximo dos dois números ser maior do que 4.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a probabilidade de que o máximo dos números obtidos ao lançar dois dados não-viciados seja maior do que
.
Informações dadas (todas importantes):
- São lançados dois dados justos (não-viciados).
- Cada dado tem possíveis resultados
. - Os lançamentos são independentes (o resultado de um não afeta o outro).
- Como cada dado tem
faces e os resultados são todos igualmente prováveis, o espaço amostral tem resultados possíveis.
Passo 2
Estratégia (por que escolher este caminho): é mais simples usar a regra do complementar. A ideia é:
- Em vez de contar diretamente os casos em que o máximo é maior que
, contamos os casos onde o máximo NÃO é maior que (ou seja, o máximo é ), e subtraímos essa probabilidade de .
A regra do complementar é:
onde
é o evento complementar de
.
Explicando o que é o evento complementar aqui:
- Evento
: "o máximo dos dois números é maior do que ". - Evento
: "o máximo dos dois números é menor ou igual a ". Isso significa que ambos os dados mostram valores em .
Passo 3
Contagem do espaço amostral: Como os dois dados são independentes e cada um tem
resultados, o número total de resultados igualmente prováveis é
Agora contamos os resultados em que ambos os dados são
(evento
). Cada dado tem
resultados possíveis em
, logo o número de pares com ambos
é
Portanto, o número de resultados em que o máximo é
é
.
Passo 4
Aplicando o complementar: o número de resultados onde o máximo é maior que
é o complemento em relação a
, ou seja
Assim, a probabilidade pedida é o número de casos favoráveis dividido pelo total:
Passo 5
Simplificação da fração: podemos simplificar
dividindo numerador e denominador por
:
Passo 6
Verificação alternativa (opcional, só para ficar seguro): contar separadamente os casos em que o máximo é
e os que o máximo é
.
- Máximo igual a
: são todos os pares em que ambos os valores e pelo menos um é . O número de pares com ambos é . Destes, os com ambos já contados são . Logo casos com máximo são . - Máximo igual a
: pares com ambos são ; subtrai-se os com ambos que são ; então .
Somando
casos favoráveis, que dá novamente
. Confere.