Uma bola e arremessada a uma velocidade de \mathbf{1 0 ~ m} / \mathrm{s}, dirigida verticalmente para cima, de uma janela de um prédio localizada a 20 m acima do solo. Sabendo que a aceleração da bola e constante e igual a 9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} para baixo, determine:
(a) a velocidade \boldsymbol{v} e a elevação \boldsymbol{y} da bola acima do solo, para qualquer instante \boldsymbol{t},
(b) a elevação máxima atingida pela bola e o correspondente valor de \boldsymbol{t} e
(c) o instante em que a bola atingirá o solo e a velocidade correspondente.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas (peguei todos os números do enunciado):
  • Velocidade inicial: \,v_0=10\\ \mathrm{m/s}\, (direcionada verticalmente para cima).
  • Posição inicial (altura da janela): \,y_0=20\\ \mathrm{m}\, acima do solo.
  • Aceleração constante: \,a=-9,81\\ \mathrm{m/s^2}\, (negativa porque é para baixo).
    As perguntas são:
    (a) determinar a velocidade \,v e a elevação \,y da bola acima do solo para qualquer instante \,t;
    (b) determinar a elevação máxima atingida, e o instante \,t correspondente;
    (c) determinar o instante em que a bola atingirá o solo e a velocidade correspondente nesse instante.

Passo 2

Escolhemos um sinal/convenção (muito importante): diremos que a direção para cima é positiva. Assim:
  • Velocidade para cima é positiva, para baixo é negativa.
  • A aceleração da gravidade fica \,a=-9,81\\ \mathrm{m/s^2}\,.
    Agora apresento as fórmulas básicas de cinemática (movimento retilíneo com aceleração constante) que vamos usar e explico o que cada termo significa:
  • A relação entre aceleração e velocidade é obtida integrando-se a aceleração:
v(t)=v_0 + a\,t
onde \,v(t) é a velocidade no instante \,t, \,v_0 é a velocidade inicial e \,a é a aceleração constante.
  • A posição (altura) é obtida integrando-se a velocidade:
y(t)=y_0 + v_0\,t + \tfrac{1}{2}a\,t^2
onde \,y(t) é a altura no instante \,t, e \,y_0 é a altura inicial.
Estas fórmulas vêm de integrar aceleração para obter velocidade e integrar velocidade para obter posição; aqui usamos-as diretamente porque a aceleração é constante.

Passo 3

Aplicando as fórmulas ao problema substituindo \,v_0=10\\ \mathrm{m/s}, \,y_0=20\\ \mathrm{m} e \,a=-9,81\\ \mathrm{m/s^2}:
  • Velocidade para qualquer instante \,t:
v(t)=10-9,81\,t\quad(\mathrm{m/s}).
Explicação: a cada segundo a velocidade diminui em \,9,81\\ \mathrm{m/s} devido à gravidade. Quando \,v(t) fica negativa, isso indica que a bola está se movendo para baixo.
  • Altura para qualquer instante \,t:
y(t)=20+10\,t-\tfrac{1}{2}\cdot 9,81\,t^2 = 20+10\,t-4,905\,t^2\quad(\mathrm{m}).
Explicação: o termo 20 é a altura inicial, 10\,t é a contribuição da velocidade inicial (faz a bola subir), e -4,905\,t^2 é a contribuição da desaceleração pela gravidade (faz a subida desacelerar e depois descer).

Passo 4

Vamos achar a elevação máxima (parte b). Ideia prática: a altura máxima ocorre quando a velocidade instantânea passa por zero (a subida para e a partir daí começa a descer). Então impomos \,v(t)=0 e resolvemos para \,t.
A equação é
0 = 10-9,81\,t_{\max}.
Resolvendo:
t_{\max}=\frac{10}{9,81}.
Calculemos numericamente:
t_{\max}=\frac{10}{9,81}\approx 1,01937\\ \mathrm{s}\approx 1,02\\ \mathrm{s}.
Explicação: isso significa que cerca de 1,02\\ \mathrm{s} após o arremesso a bola alcança a altura máxima.

Passo 5

Agora calculamos a altura máxima substituindo \,t_{\max} em \,y(t). Há uma fórmula alternativa útil (e rápida na prova): o acréscimo de altura durante a subida até parar é \dfrac{v_0^2}{2g}. Em nossa notação:
y_{\max}=y_0+\frac{v_0^2}{2\cdot 9,81}.
Substituindo números:
y_{\max}=20+\frac{100}{19,62}=20+5,09684\ldots\approx 25,09684\\ \mathrm{m}\approx 25,10\\ \mathrm{m}.
Comentário prático: usar \dfrac{v_0^2}{2g} evita cálculo com potências de t e é muito conveniente na prova.

Passo 6

Agora (parte c) determinamos o instante em que a bola atinge o solo. Isso ocorre quando \,y(t)=0. Temos a equação quadrática:
0=20+10\,t-4,905\,t^2.
Reorganizando em forma padrão:
4,905\,t^2-10\,t-20=0.
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação \,A t^2 + B t + C = 0, as raízes são
t=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}.
Aqui \,A=4,905, \,B=-10 (note o sinal), \,C=-20. Calculamos o discriminante:
\Delta = (-10)^2-4\cdot 4,905\cdot(-20) = 100+392,4 = 492,4.
A raiz quadrada é \sqrt{492,4}\approx 22,19. As duas soluções são
t=\frac{10\pm\sqrt{492,4}}{2\cdot 4,905}=\frac{10\pm 22,19}{9,81}.
Tomamos a raiz positiva (instante futuro):
t_{\text{impact}}=\frac{10+22,19}{9,81}\approx \frac{32,19}{9,81}\approx 3,281\\ \mathrm{s}\approx 3,28\\ \mathrm{s}.
Comentário: a outra raiz é negativa (tempo anterior ao lançamento), que não nos interessa fisicamente aqui.

Passo 7

Agora a velocidade no instante de impacto. Podemos usar a expressão v(t)=10-9,81\,t com t=t_{\text{impact}}, ou usar a relação de energia cinemática v^2=v_0^2+2a(y-y_0). Usarei a forma direta:
v_{\text{impact}}=10-9,81\cdot 3,281\approx 10-32,19\approx -22,19\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação do sinal: o valor negativo indica que a velocidade está dirigida para baixo no momento do impacto. Em termos de velocidade escalar (rapidez), |v_{\text{impact}}|\approx 22,19\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Resumo numérico final (números arredondados de forma coerente para uma prova):
  • Funções no tempo: \,v(t)=10-9,81\,t (m/s) e \,y(t)=20+10\,t-4,905\,t^2 (m).
  • Altura máxima: \,y_{\max}\approx 25,10\\ \mathrm{m} atingida em \,t_{\max}\approx 1,02\\ \mathrm{s}.
  • Instante de impacto com o solo: \,t_{\text{impact}}\approx 3,28\\ \mathrm{s} e velocidade correspondente \,v_{\text{impact}}\approx -22,19\\ \mathrm{m/s} (ou velocidade escalar \,22,19\\ \mathrm{m/s} para baixo).

Resposta

(a) \;v(t)=10-9,81\,t\\ \mathrm{m/s} \
\;y(t)=20+10\,t-4,905\,t^2\\ \mathrm{m}
(b) \;y_{\max}\approx 25,10\\ \mathrm{m} em \;t_{\max}\approx 1,02\\ \mathrm{s}
(c) \;t_{\text{impact}}\approx 3,28\\ \mathrm{s} \
\;v_{\text{impact}}\approx -22,19\\ \mathrm{m/s}

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