Uma bola e arremessada a uma velocidade de
, dirigida verticalmente para cima, de uma janela de um prédio localizada a 20 m acima do solo. Sabendo que a aceleração da bola e constante e igual a
para baixo, determine:
(a) a velocidade
e a elevação
da bola acima do solo, para qualquer instante
,
(b) a elevação máxima atingida pela bola e o correspondente valor de
e
(c) o instante em que a bola atingirá o solo e a velocidade correspondente.
(a) a velocidade
(b) a elevação máxima atingida pela bola e o correspondente valor de
(c) o instante em que a bola atingirá o solo e a velocidade correspondente.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas (peguei todos os números do enunciado):
- Velocidade inicial:
(direcionada verticalmente para cima). - Posição inicial (altura da janela):
acima do solo. - Aceleração constante:
(negativa porque é para baixo).
As perguntas são:
(a) determinar a velocidadee a elevação da bola acima do solo para qualquer instante ;
(b) determinar a elevação máxima atingida, e o instantecorrespondente;
(c) determinar o instante em que a bola atingirá o solo e a velocidade correspondente nesse instante.
Passo 2
Escolhemos um sinal/convenção (muito importante): diremos que a direção para cima é positiva. Assim:
- Velocidade para cima é positiva, para baixo é negativa.
- A aceleração da gravidade fica
.
Agora apresento as fórmulas básicas de cinemática (movimento retilíneo com aceleração constante) que vamos usar e explico o que cada termo significa: - A relação entre aceleração e velocidade é obtida integrando-se a aceleração:
onde
é a velocidade no instante
,
é a velocidade inicial e
é a aceleração constante.
- A posição (altura) é obtida integrando-se a velocidade:
onde
é a altura no instante
, e
é a altura inicial.
Estas fórmulas vêm de integrar aceleração para obter velocidade e integrar velocidade para obter posição; aqui usamos-as diretamente porque a aceleração é constante.
Estas fórmulas vêm de integrar aceleração para obter velocidade e integrar velocidade para obter posição; aqui usamos-as diretamente porque a aceleração é constante.
Passo 3
Aplicando as fórmulas ao problema substituindo
,
e
:
- Velocidade para qualquer instante
:
Explicação: a cada segundo a velocidade diminui em
devido à gravidade. Quando
fica negativa, isso indica que a bola está se movendo para baixo.
- Altura para qualquer instante
:
Explicação: o termo
é a altura inicial,
é a contribuição da velocidade inicial (faz a bola subir), e
é a contribuição da desaceleração pela gravidade (faz a subida desacelerar e depois descer).
Passo 4
Vamos achar a elevação máxima (parte b). Ideia prática: a altura máxima ocorre quando a velocidade instantânea passa por zero (a subida para e a partir daí começa a descer). Então impomos
e resolvemos para
.
A equação é
A equação é
Resolvendo:
Calculemos numericamente:
Explicação: isso significa que cerca de
após o arremesso a bola alcança a altura máxima.
Passo 5
Agora calculamos a altura máxima substituindo
em
. Há uma fórmula alternativa útil (e rápida na prova): o acréscimo de altura durante a subida até parar é
. Em nossa notação:
Substituindo números:
Comentário prático: usar
evita cálculo com potências de
e é muito conveniente na prova.
Passo 6
Agora (parte c) determinamos o instante em que a bola atinge o solo. Isso ocorre quando
. Temos a equação quadrática:
Reorganizando em forma padrão:
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação
, as raízes são
Aqui
,
(note o sinal),
. Calculamos o discriminante:
A raiz quadrada é
. As duas soluções são
Tomamos a raiz positiva (instante futuro):
Comentário: a outra raiz é negativa (tempo anterior ao lançamento), que não nos interessa fisicamente aqui.
Passo 7
Agora a velocidade no instante de impacto. Podemos usar a expressão
com
, ou usar a relação de energia cinemática
. Usarei a forma direta:
Interpretação do sinal: o valor negativo indica que a velocidade está dirigida para baixo no momento do impacto. Em termos de velocidade escalar (rapidez),
.
Passo 8
Resumo numérico final (números arredondados de forma coerente para uma prova):
- Funções no tempo:
(m/s) e (m). - Altura máxima:
atingida em . - Instante de impacto com o solo:
e velocidade correspondente (ou velocidade escalar para baixo).
Resposta
(a)
\
(b)
em
(c)
\