*1-44. Determine the maximum magnitude P of the loads the beam can support if the average shear stress in each pin is not to exceed 80 MPa . All pins are in double shear, and each has a diameter of 18 mm .

Passo 1

O enunciado pede: determinar a máxima magnitude P das cargas que a viga pode suportar se a tensão de cisalhamento média em cada pino não exceder 80\\ \text{MPa}. O enunciado dá explicitamente:
\text{tensão admissível } \tau_{adm}=80\\ \text{MPa},ãí
cada pino tem diâmetro
d=18\\ \text{mm},
e os pinos estão em cisalhamento duplo (ou seja, cada pino tem duas superfícies de cisalhamento).
Observação importante: o enunciado provavelmente depende de uma figura (arranjo da viga, número de pinos que suportam a carga P, se cada carga é transmitida a quantos pinos, etc.). Essa figura NÃO foi fornecida. Sem saber como as cargas P são distribuídas entre os pinos (quantos pinos participam, se os pinos trabalham em paralelo por carga, etc.) não é possível obter um único valor numérico para P. Portanto, devo explicitar o que falta antes de dar um valor final único.

Passo 2

Conceito necessário (aula rápida e prática): a tensão de cisalhamento média \tau em um pino é definida como a força cortante na seção do pino dividida pela área efetiva de cisalhamento:
\tau=\frac{F_{c}}{A_{c}},
onde
  • \tau é a tensão de cisalhamento média (em \text{N/mm}^2 ou MPa),
  • F_{c} é a força cortante que atua sobre o pino (em N),
  • A_{c} é a área de cisalhamento disponível (em \text{mm}^2).
Para um pino em cisalhamento simples (uma única linha de cisalhamento) a área de cisalhamento é a área circular da secção:
A_{\text{plano}}=\frac{\pi d^{2}}{4}.
Para um pino em cisalhamento duplo (duas superfícies de cisalhamento, por exemplo uma bucha entre duas chapas), a área total de cisalhamento é o dobro dessa área:
A_{c}=2\cdot A_{\text{plano}}=2\cdot\frac{\pi d^{2}}{4}=\frac{\pi d^{2}}{2}.
Explicação intuitiva: cada plano de cisalhamento “carrega” parte da força; em cisalhamento duplo a mesma força é dividida entre duas seções, logo a área efetiva é o dobro.

Passo 3

Calcular a área de um plano para d=18\\ \text{mm}. Primeiro d^{2}:
d^{2}=18^{2}=324\\ \text{mm}^{2}.
Área de um plano:
A_{\text{plano}}=\frac{\pi d^{2}}{4}=\frac{\pi\cdot 324}{4}=81\pi\\ \text{mm}^{2}.

Passo 4

Área total de cisalhamento para pino em cisalhamento duplo:
A_{c}=2\cdot A_{\text{plano}}=2\cdot 81\pi=162\pi\\ \text{mm}^{2}.
Valor numérico:
A_{c}=162\pi\approx 162\cdot 3{,}14159\approx 508{,}94\\ \text{mm}^{2}.

Passo 5

Calcular a força cortante máxima admissível por pino usando \tau_{adm}=80\\ \text{MPa}=80\\ \text{N/mm}^{2}:
F_{\text{pin}}=\tau_{adm}\,A_{c}=80\cdot 162\pi\\ \text{N}.
Valor numérico:
F_{\text{pin}}=80\cdot 508{,}94\approx 40\,715\\ \text{N}\approx 40{,}7\\ \text{kN}.
Interpretação: cada pino, por ser de 18\\ \text{mm} e estar em cisalhamento duplo, pode resistir, sem exceder 80\\ \text{MPa}, cerca de 40{,}7\\ \text{kN} de força cortante total.

Passo 6

Como se obtém P a partir de F_{\text{pin}}? Depende de quantos pinos estão carregando a mesma carga P (ou quantos pinos participam no caminho de transmissão da carga). Em geral, se N pinos trabalham em paralelo para resistir à carga P (e cada pino está em cisalhamento duplo e tem a mesma capacidade), então:
P_{\max}=N\cdot F_{\text{pin}}.
Exemplos práticos (só para ilustrar; NÃO estou inventando a figura do seu enunciado, são apenas possibilidades):
  • Se a configuração da figura tiver exatamente 2 pinos compartilhando igualmente cada carga P, então
P_{\max}=2\cdot 40{,}7\\ \text{kN}\approx 81{,}4\\ \text{kN}.
  • Se houver 3 pinos em paralelo para cada carregamento,
P_{\max}=3\cdot 40{,}7\\ \text{kN}\approx 122{,}1\\ \text{kN}.
  • E assim por diante.
Observação didática: é imprescindível analisar como as forças são transferidas na peça (diagrama de corpo livre) para saber quantos pinos efetivamente recebem a força P. Em estruturas reais, às vezes nem todos os pinos compartilham igualmente a carga devido a excentricidades, folgas, rigidez relativa, mas o enunciado típico de prova costuma assumir compartilhamento igual quando os pinos estão idênticos e alinhados.

Passo 7

Conclusão prática e o que falta: eu calculei a capacidade de cisalhamento de cada pino:
F_{\text{pin}}\approx 40{,}7\\ \text{kN}.
No entanto, NÃO POSSO fornecer um único valor numérico final para P porque a figura/descrição que mostra quantos pinos suportam cada carga P ou como as cargas são distribuídas entre os pinos NÃO FOI FORNECIDA. Para finalizar e entregar um valor numérico para P eu preciso apenas saber quantos pinos trabalham em paralelo para cada carga P (ou então que a figura indique claramente essa distribuição). Com essa informação eu aplicaria
P_{\max}=N\cdot F_{\text{pin}}
e daria o valor final.

Resposta

Não é possível determinar um único valor numérico para P porque a figura/arranjo que mostra quantos pinos suportam cada carga P não foi fornecido.

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