Determine the average shear stress in the pins at A, B, and C. All pins are in double shear, and each has a diameter of 18 mm.
If P=5 \mathrm{kN}, determine the average shear stress in the pins at A, B, and C. All pins are in double shear, and each has a diameter of 18 mm .

Passo 1

O enunciado pede para determinar a tensão de cisalhamento média nos pinos em A, B e C. As informações fornecidas no enunciado são:
  • Força aplicada P = 5\\ \mathrm{kN}.
  • Todos os pinos estão em cisalhamento duplo.
  • Diâmetro de cada pino d = 18\\ \mathrm{mm}.
Nota importante: o enunciado certamente depende de um diagrama/figura que mostra como a força P é transmitida entre os elementos e como os pinos A, B e C estão conectados. Essa figura não foi fornecida aqui. Sem essa figura não é possível saber a força de cisalhamento que atua em cada pino ( V_A, V_B, V_C). Portanto não é possível calcular numericamente as tensões finais em A, B e C sem a informação de como P se distribui.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas e práticas).
  • A tensão de cisalhamento média em uma seção é a força de cisalhamento dividida pela área resistente dessa seção.
  • Para um pino com área de seção transversal A e em cisalhamento simples: \tau_{\text{média}}=\frac{V}{A},éonde V é a força de cisalhamento que atravessa o pino (em N) e A é a área da secção transversal (em \mathrm{mm}^2), resultando em \tau em \mathrm{N/mm}^2 ou \mathrm{MPa}.
  • Para cisalhamento duplo (dois planos de cisalhamento em paralelo), a mesma força V é resistida por duas áreas iguais, então a área total resistente é 2A e a tensão média é \tau_{\text{média}}=\frac{V}{2A}.é

Passo 3

Cálculo da área de um pino com diâmetro \,d=18\\ \mathrm{mm}\,.
  • Área da seção circular de um pino: A=\frac{\pi d^{2}}{4}.Substituindo d=18\\ \mathrm{mm}: A=\frac{\pi (18)^{2}}{4}=\frac{\pi \cdot 324}{4}=81\pi\\ \mathrm{mm}^{2}\approx 254,47\\ \mathrm{mm}^{2}.
  • Como é cisalhamento duplo, a área resistente total é 2A = 162\pi\\ \mathrm{mm}^{2}\approx 508,94\\ \mathrm{mm}^{2}.

Passo 4

Fórmula pronta para usar em cada pino em função da força de cisalhamento no pino.
  • Se a força de cisalhamento que atua no pino i for V_i (em N), então a tensão média no pino i será \tau_i=\frac{V_i}{2A}.
  • Substituindo A=\dfrac{\pi d^2}{4} obtemos uma forma prática: \tau_i=\frac{2V_i}{\pi d^{2}}.Com d=18\\ \mathrm{mm}: \tau_i \approx \frac{2V_i}{\pi (18)^{2}}=\frac{2V_i}{324\pi}\approx 0,001964\,V_i,onde V_i está em N e \tau_i em \mathrm{N/mm}^2 ( \mathrm{MPa}).

Passo 5

Exemplos numéricos didáticos (para entender como aplicar):
  • Se um pino recebesse toda a força P=5\\ \mathrm{kN}=5000\\ \mathrm{N} como força de cisalhamento V=5000\\ \mathrm{N}, então \tau=\;0,001964\cdot 5000\approx 9,82\\ \mathrm{MPa}.(isto é, caso hipotético em que V_i=P.)
  • Se dois pinos em paralelo compartilhassem P igualmente (cada um com V=2500\\ \mathrm{N}), então \tau=\;0,001964\cdot 2500\approx 4,91\\ \mathrm{MPa}.
  • Esses exemplos servem para você ver rapidamente: primeiro determine (a partir do diagrama) a força V_i que cada pino suporta; depois aplique \tau_i\approx 0,001964\,V_i.

Passo 6

Como obter V_A, V_B e V_C a partir do diagrama (procedimento na prova).
  • Desenhe o diagrama de corpo livre (DCL) da peça ou conjunto que contém os pinos.
  • Identifique as reações internas nos pinos: trate cada pino como uma ligação que transmite força de cisalhamento (e possivelmente momento, dependendo do encaixe).
  • Aplique as equações de equilíbrio ( \sum F_x=0, \sum F_y=0, \sum M=0) para cada corpo isolado até encontrar as forças de cisalhamento V_A, V_B, V_C.
  • Use simetria se houver (por exemplo, duas ligações idênticas em paralelo dividem a carga igualmente).
  • Uma vez que V_i esteja determinado, calcule \tau_i com a fórmula do Passo 4.

Passo 7

Conclusão sobre o enunciado fornecido.
  • Como a figura/diagrama que mostra a geometria e como P=5\\ \mathrm{kN} é transmitido entre os pinos A, B e C não foi enviada, não é possível determinar numericamen­te os valores de \tau_A, \tau_B e \tau_C.
  • Já deixei todas as fórmulas, o cálculo da área do pino e exemplos numéricos para que, assim que você souber (ou enviar) as forças de cisalhamento em cada pino, consiga calcular as tensões rapidamente.

Resposta

Não é possível determinar numericamente \tau_A, \tau_B e \tau_C porque falta o diagrama/figura que mostra como P=5\\ \mathrm{kN} é distribuído entre os pinos; em geral
\displaystyle \tau_i=\frac{2V_i}{\pi d^{2}} com d=18\\ \mathrm{mm}, e basta conhecer V_A,V_B,V_C para calcular cada \tau.

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