Determine the maximum average shear stress in pin A of the truss. A horizontal force of P=40 \mathrm{kN} is applied to joint C. Each pin has a diameter of 25 mm and is subjected to double shear.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Força horizontal aplicada em C: P=40\\ \mathrm{kN}.
  • Diâmetro do pino: d=25\\ \mathrm{mm}.
  • Cada pino está sujeito a duplo cisalhamento (double shear).
  • O que se pede: determinar a máxima tensão média de cisalhamento em A.
Observação importante: o enunciado menciona um pino A num treliça, mas não foi enviada a figura/diagrama da treliça (posição dos nós, barras, comprimentos e ângulos). A determinação numérica da tensão em A exige conhecer as forças internas que atuam nesse pino (isto depende da geometria da treliça e da distribuição das barras). Portanto a partir do enunciado textual isolado não é possível obter um valor numérico final sem essa geometria. A resolução abaixo explica passo a passo como calcular a tensão média de cisalhamento no pino e como obteria o valor numérico assim que a força efetiva no pino for conhecida.

Passo 2

Conceito de cisalhamento em pino e cisalhamento duplo (didático, devagarzinho):
  • Um pino circular transmite força por cisalhamento quando as peças unidas tendem a deslizar uma em relação à outra perpendicularmente ao eixo do pino.
  • Tensão média de cisalhamento numa única superfície é dada por
\tau=\frac{F}{A},
onde F é a força cortante total transmitida pela superfície e A é a área da seção de cisalhamento.
  • Em cisalhamento duplo (double shear) o pino tem duas superfícies de cisalhamento paralelas que compartilham a força. Se a força total transmitida pelo pino for F_{\text{pin}}, e as duas superfícies têm cada uma área A_{\text{pl}}, a tensão média em cada superfície é
\tau_{\text{média}}=\frac{F_{\text{pin}}}{2A_{\text{pl}}}.é
Explicação conceitual: a força é dividida entre as duas “folhas” de contato; por isso dividimos por 2.

Passo 3

Cálculo da área da seção do pino (uma superfície de cisalhamento) — fórmula e cálculo passo a passo:
  • Seção transversal circular de diâmetro d: a área é
A_{\text{pl}}=\frac{\pi d^{2}}{4}.
  • Substituindo d=25\\ \mathrm{mm}:
d^{2}=25^{2}=625\\ \mathrm{mm}^{2},
A_{\text{pl}}=\frac{\pi\cdot625}{4}=156{,}25\pi\\ \mathrm{mm}^{2}\approx490{,}8739\\ \mathrm{mm}^{2}.
(Guardei os passos: calculei d^2, multipliquei por \pi e dividi por 4.)

Passo 4

Área total de cisalhamento para duplo cisalhamento e expressão da tensão média:
  • Área total de cisalhamento (duas placas) é
A_{\text{total}}=2A_{\text{pl}}=2\cdot\frac{\pi d^{2}}{4}=\frac{\pi d^{2}}{2}.
  • Portanto a tensão média de cisalhamento no pino (duplo cisalhamento) é
\tau_{\max}=\frac{F_{\text{pin}}}{A_{\text{total}}} =\frac{F_{\text{pin}}}{\pi d^{2}/2} =\frac{2F_{\text{pin}}}{\pi d^{2}}.
Essa é a fórmula-chave: tudo que resta é conhecer F_{\text{pin}}, a força efetiva de cisalhamento que passa por A.

Passo 5

Substituição numérica parcial usando d=25\\ \mathrm{mm} para obter uma relação prática entre \tau_{\max} e F_{\text{pin}}:
  • Usando d^{2}=625\\ \mathrm{mm}^{2},
A_{\text{total}}=\frac{\pi\cdot625}{2}=312{,}5\pi\\ \mathrm{mm}^{2}\approx981{,}7477\\ \mathrm{mm}^{2}.
  • Portanto, para F_{\text{pin}} em newtons:
\tau_{\max}\;(\mathrm{N/mm^{2}})=\frac{F_{\text{pin}}\;(\mathrm{N})}{981{,}7477\\ \mathrm{mm}^{2}}.
  • Convertendo para uma forma prática com F_{\text{pin}} em \mathrm{kN} e \tau em \mathrm{MPa} (lembre: 1\\ \mathrm{MPa}=1\\ \mathrm{N/mm^{2}} e 1\\ \mathrm{kN}=1000\\ \mathrm{N}):
\tau_{\max}\;(\mathrm{MPa})=\frac{1000\\ F_{\text{pin}}\;(\mathrm{kN})}{981{,}7477}\approx1{,}0186\;F_{\text{pin}}\;(\mathrm{kN}).
Ou, usando a fórmula fechada já vista:
\tau_{\max}=\frac{2F_{\text{pin}}}{\pi d^{2}}.

Passo 6

Como obter F_{\text{pin}} (passo a passo do que faria na prova, sem pular etapas):
  • Identificar a topologia da treliça (quais barras se conectam no pino A, coordenadas/ângulos e ligações).
  • Escolher método (method of joints ou method of sections):
    • Método dos Nós (method of joints): escreva as equações de equilíbrio no nó A (ou em nós adjacentes) — soma das forças em x e em y nulas — para resolver as forças axiais das barras que se conectam ao nó. Esse método exige conhecer os ângulos das barras que chegam ao nó.
    • Método das Secções (method of sections): cortar a treliça por uma seção que atravessa as barras que interessam e escrever equações de equilíbrio da porção cortada (soma de forças horizontais, verticais e somatório de momentos) para resolver as forças internas diretamente. É útil se quisermos achar uma força interna sem resolver todo o sistema de nós.
  • Depois de calcular as forças axiais das barras que atuam sobre o pino, decompor essas forças nas componentes perpendiculares ao eixo do pino que geram o cisalhamento. A resultante dessas componentes que atravessam o pino é F_{\text{pin}}.
  • Finalmente substituir F_{\text{pin}} na fórmula \tau_{\max}=\dfrac{2F_{\text{pin}}}{\pi d^{2}} para obter a tensão média de cisalhamento.
Nota importante: sem a figura (ângulos, comprimentos, disposição das barras) eu não posso calcular numericamente F_{\text{pin}} a partir de P=40\\ \mathrm{kN}. Então não dá para dar um número final para \tau_{\max} a partir dos dados textuais fornecidos.

Resposta

\displaystyle \tau_{\max}=\frac{2F_{\text{pin}}}{\pi d^{2}}
Com d=25\\ \mathrm{mm}: \displaystyle \tau_{\max}(\mathrm{MPa})\approx1{,}0186\;F_{\text{pin}}(\mathrm{kN}).
Não é possível determinar numericamente \tau_{\max} sem a geometria/ângulos da treliça que permitem calcular F_{\text{pin}} (força transmitida pelo pino A).

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