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Em um triângulo A B C, M e N são, respectivamente, pontos sobre os lados B C e A C, tais que \frac{B M}{C M}=\frac{A N}{C N}=2
A razão \frac{M N}{A B} vale
(A) 1 / 2.
(B) 1 / 3.
(C) 2 / 3.
(D) 3 / 4.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo A B C. Os pontos M e N estão, respectivamente, sobre os lados B C e A C, e satisfazem
\frac{B M}{C M}=\frac{A N}{C N}=2.
A pergunta é: qual é a razão \dfrac{M N}{A B}?
Informações relevantes listadas:
  • M pertence a B C e divide B C de modo que BM:CM=2:1.
  • N pertence a A C e divide A C de modo que AN:CN=2:1.
  • Precisa-se de \dfrac{M N}{A B}.

Passo 2

Para facilitar os cálculos, escolho um sistema de coordenadas simples onde a razão pedida fique imediata: coloco A na origem e faço A B ao longo do eixo x com comprimento 1. Assim escolho
A=(0,0),\qquad B=(1,0).
O vértice C pode ser qualquer ponto distinto, escrevo-o de forma geral como C=(u,v) com v\neq 0 (não precisamos de valores específicos porque a razão final será independente de u,v).
Explicação do método usado: representar cada ponto interior de um segmento por um parâmetro (fórmula de divisão de segmento). Se um ponto P está em X Y e XP:PY=t:(1-t) (com t medindo a fração ao partir de X), então as coordenadas de P são P = X + t(Y-X). Aqui, para um ponto entre B e C, o parâmetro t satisfaz BM/BC=t e CM/BC=1-t, logo BM/CM=\dfrac{t}{1-t}.

Passo 3

Aplicando esse raciocínio a M sobre B C: se chamarmos o parâmetro de divisão t (medido a partir de B), então
\frac{B M}{C M}=\frac{t}{1-t}=2.
Resolvo essa equação para t:
\frac{t}{1-t}=2 \quad\Rightarrow\quad t=2(1-t)=2-2t \quad\Rightarrow\quad 3t=2 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{2}{3}.

Passo 4

As coordenadas de M são M=B+t(C-B). Substituindo B=(1,0), C=(u,v) e t=\dfrac{2}{3}, obtemos
M = (1,0)+\frac{2}{3}\big((u,v)-(1,0)\big) = (1,0)+\frac{2}{3}(u-1,\,v)
Calculando componente a componente:
M_x = 1+\frac{2}{3}(u-1)=\frac{1+2u}{3},\qquad M_y=\frac{2v}{3}.
Portanto M=\big(\dfrac{1+2u}{3},\,\dfrac{2v}{3}\big).

Passo 5

Agora N está em A C e satisfaz AN:CN=2:1. Fazendo o mesmo raciocínio, o parâmetro de divisão partindo de A vale também \dfrac{2}{3}. Assim as coordenadas de N são
N = A+\frac{2}{3}(C-A)=\frac{2}{3}(u,v)=\left(\frac{2u}{3},\frac{2v}{3}\right).

Passo 6

Agora calculo o vetor \overrightarrow{M N}=N-M:
\overrightarrow{M N}=\left(\frac{2u}{3},\frac{2v}{3}\right)-\left(\frac{1+2u}{3},\frac{2v}{3}\right) =\left(\frac{2u-(1+2u)}{3},\,0\right)=\left(-\frac{1}{3},\,0\right).
Ou seja, M N é um segmento horizontal com comprimento \left|\!-\tfrac{1}{3}\right|=\tfrac{1}{3}. Lembre que escolhemos A B com comprimento 1. Então
\frac{M N}{A B}=\frac{1/3}{1}=\frac{1}{3}.

Passo 7

Interpretação final e comentário: o resultado não depende das coordenadas de C; por isso a razão é constante para qualquer triângulo A B C com os pontos M,N dados. Isso significa que, em qualquer triângulo, se BM:CM=AN:CN=2:1, então MN mede exatamente um terço de AB. Força aí — essa é uma boa técnica: escolher coordenadas convenientes e usar a divisão de segmentos!

Resposta

\dfrac{1}{3}

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