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Em um triângulo A B C, M e N são, respectivamente, pontos sobre os lados B C e A C, tais que \frac{B M}{C M}=\frac{A N}{C N}=2
A razão \frac{M N}{A B} vale
(A) 1 / 2.
(B) 1 / 3.
(C) 2 / 3.
(D) 3 / 4.
Passo 1
O enunciado dá um triângulo A B C. Os pontos M e N estão, respectivamente, sobre os lados B C e A C, e satisfazem
\frac{B M}{C M}=\frac{A N}{C N}=2.
A pergunta é: qual é a razão \dfrac{M N}{A B}?
Informações relevantes listadas:
M pertence a B C e divide B C de modo que BM:CM=2:1.
N pertence a A C e divide A C de modo que AN:CN=2:1.
Precisa-se de \dfrac{M N}{A B}.
Passo 2
Para facilitar os cálculos, escolho um sistema de coordenadas simples onde a razão pedida fique imediata: coloco A na origem e faço A B ao longo do eixo x com comprimento 1. Assim escolho
A=(0,0),\qquad B=(1,0).
O vértice C pode ser qualquer ponto distinto, escrevo-o de forma geral como C=(u,v) com v\neq 0 (não precisamos de valores específicos porque a razão final será independente de u,v).
Explicação do método usado: representar cada ponto interior de um segmento por um parâmetro (fórmula de divisão de segmento). Se um ponto P está em X Y e XP:PY=t:(1-t) (com t medindo a fração ao partir de X), então as coordenadas de P são P = X + t(Y-X). Aqui, para um ponto entre B e C, o parâmetro t satisfaz BM/BC=t e CM/BC=1-t, logo BM/CM=\dfrac{t}{1-t}.
Passo 3
Aplicando esse raciocínio a M sobre B C: se chamarmos o parâmetro de divisão t (medido a partir de B), então
Agora N está em A C e satisfaz AN:CN=2:1. Fazendo o mesmo raciocínio, o parâmetro de divisão partindo de A vale também \dfrac{2}{3}. Assim as coordenadas de N são
N = A+\frac{2}{3}(C-A)=\frac{2}{3}(u,v)=\left(\frac{2u}{3},\frac{2v}{3}\right).
Ou seja, M N é um segmento horizontal com comprimento \left|\!-\tfrac{1}{3}\right|=\tfrac{1}{3}. Lembre que escolhemos A B com comprimento 1. Então
\frac{M N}{A B}=\frac{1/3}{1}=\frac{1}{3}.
Passo 7
Interpretação final e comentário: o resultado não depende das coordenadas de C; por isso a razão é constante para qualquer triângulo A B C com os pontos M,N dados. Isso significa que, em qualquer triângulo, se BM:CM=AN:CN=2:1, então MN mede exatamente um terço de AB. Força aí — essa é uma boa técnica: escolher coordenadas convenientes e usar a divisão de segmentos!