45-52 Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
f(x, y)=y-\operatorname{arctg} x

Passo 1

O enunciado pede o mapa de contorno (curvas de nível) da função
f(x,y)=y-\arctan x
Para isso precisamos saber que uma curva de nível associada a um valor constante C é o conjunto de pontos (x,y) tais que
f(x,y)=C.

Passo 2

Impondo f(x,y)=C, temos
y-\arctan x = C
ou seja
y = \arctan x + C.
Logo cada curva de nível é o gráfico da função y=\arctan x deslocada verticalmente de C unidades.

Passo 3

Sabendo que \arctan x é uma função estritamente crescente em \mathbb{R} com assíntotas horizontais
\lim_{x\to+\infty}\arctan x = \frac{\pi}{2} \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to-\infty}\arctan x = -\frac{\pi}{2},
cada curva y=\arctan x + C também terá assíntotas horizontais
y = C + \frac{\pi}{2} \quad\text{e}\quad y = C - \frac{\pi}{2}.

Passo 4

Para ilustrar o mapa de contorno, basta escolher vários valores de C. Por exemplo:
C=-1,\;0,\;1,\;\frac{\pi}{4},\;-\frac{\pi}{4}.
As curvas correspondentes são
y = \arctan x - 1, \quad y = \arctan x, \quad y = \arctan x + 1, \quad y = \arctan x + \frac{\pi}{4}, \quad y = \arctan x - \frac{\pi}{4}.
Todas possuem o mesmo formato “em S”, deslocadas verticalmente de acordo com C.

Passo 5

No conjunto de todas essas curvas de nível, o mapa de contorno mostra uma família de “S” paralelas, cada uma ascendente e achando‐se separada verticalmente pelo valor de C. Para x\to\pm\infty elas tendem a linhas horizontais igualmente deslocadas.

Resposta

As curvas de nível de f são
y=\arctan x + C,
para vários valores de C. Cada uma é o gráfico de \arctan x deslocado verticalmente, com assíntotas horizontais em y=C\pm\frac{\pi}{2}.

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