Um fabricante modelou sua funçăo P da produçăo anual (o valor monetário de toda a produçăo em milhôes de dólares) como uma funçăo de Cobb-Douglas
P(L, K)=1,47 L^{0.05} K^{0.23}
onde L é o número de horas trabalhadas (em milhares) e K é o capital investido (em milhöes de dólares), Encontre P(120,20) e interprete-o.

Passo 1

O enunciado dá a função Cobb–Douglas
P(L,K)=1,47\,L^{0.05}\,K^{0.23}
onde L (em milhares) é o número de horas trabalhadas e K (em milhões de dólares) é o capital investido. Queremos calcular
P(120,20).

Passo 2

Substituímos L=120 e K=20 na expressão de P:
P(120,20)=1,47\cdot120^{0.05}\cdot20^{0.23}.

Passo 3

Calculamos 120^{0.05} via logaritmo: \ln(120^{0.05})=0.05\ln(120)\approx0.05\cdot4{,}7875=0{,}2394,
120^{0.05}=e^{0{,}2394}\approx1{,}2705.

Passo 4

Calculamos 20^{0.23} de forma semelhante: \ln(20^{0.23})=0.23\ln(20)\approx0.23\cdot2{,}9957=0{,}6890,
20^{0.23}=e^{0{,}6890}\approx1{,}9912.

Passo 5

Agora multiplicamos todos os fatores:
P(120,20)\approx1{,}47\times1{,}2705\times1{,}9912\approx3{,}72.

Resposta

P(120,20)\approx3,72 milhões de dólares. Isto significa que, usando 120 mil horas de trabalho e 20 milhões de dólares de capital, a produção anual vale cerca de 3,72 milhões de dólares.

Exercícios relacionados