Um fabricante modelou sua funçăo P da produçăo anual (o valor monetário de toda a produçāo em milhöes de dólares) como uma funçăo de Cobb-Douglas
P(L, K)=1,47 L^{0.08} K^{0.04}
onde L é o número de horas trabalhadas (em milhares) e K é o capital investido (em milhöes de dólares). Encontre P(120, 20) e interprete-o.

Passo 1

O enunciado dá a função de Cobb–Douglas
P(L,K)=1,47\,L^{0.08}K^{0.04},
onde L (em milhares de horas) e K (em milhões de dólares) são insumos, e pede para calcular
P(120,20).

Passo 2

Substituímos L=120 e K=20 na fórmula:
P(120,20)=1,47\cdot120^{0.08}\cdot20^{0.04}.

Passo 3

Para calcular 120^{0.08} usamos
120^{0.08}=\exp\bigl(0.08\ln(120)\bigr).
Como \ln(120)\approx4,78749, temos
0.08\ln(120)\approx0,3830 \quad\Longrightarrow\quad 120^{0.08}\approx e^{0,3830}\approx1,467.

Passo 4

De modo análogo,
20^{0.04}=\exp\bigl(0.04\ln(20)\bigr),
com \ln(20)\approx2,9957, logo
0.04\ln(20)\approx0,1198 \quad\Longrightarrow\quad 20^{0.04}\approx e^{0,1198}\approx1,1275.

Passo 5

Agora multiplicamos todos os fatores:
P(120,20)\approx1,47\times1,467\times1,1275\approx2,43.

Resposta

\displaystyle P(120,20)\approx2,43, ou seja, com 120 mil horas de trabalho e 20 milhões de dólares de capital, a produção anual é de aproximadamente 2{,}43 milhões de dólares.

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