Há 45 anos que uma adutora de ferro fundido com 150 mm de diâmetro foi construída (
para tubos novos), ligando dois reservatórios com níveis constantes. Com o passar do tempo, a tubulação envelheceu, reduzindo a vazão para
da vazão original (mantendose a perda de carga, já que os níveis dos reservatórios permaneceram constantes). Pretende-se instalar uma tubulação nova de ferro fundido (
), em paralelo com a antiga e com o mesmo comprimento, para recuperar a capacidade original do sistema. Determinar o diâmetro a ser utilizado na nova adutora.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma tubulação de ferro fundido com 150 mm de diâmetro construída há 45 anos, cujo coeficiente de rugosidade $ C = 140 $ (usado na equação de Hazen-Williams para tubos novos). Com o tempo, essa tubulação envelheceu e a vazão diminuiu para 64% da vazão original, mas a perda de carga permaneceu constante porque os níveis dos reservatórios não mudaram. Agora, queremos instalar uma nova tubulação em paralelo, com o mesmo comprimento e também $ C = 140 $, para recuperar a capacidade original do sistema. Precisamos encontrar o diâmetro dessa nova tubulação.
Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de Hazen-Williams, que relaciona a vazão, o diâmetro da tubulação, a perda de carga e o coeficiente $ C $. Como vamos adicionar uma nova tubulação em paralelo, a vazão total será a soma das vazões nas duas tubulações.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação de Hazen-Williams:
Onde:
- $ Q $ é a vazão,
- $ C $ é o coeficiente de Hazen-Williams,
- $ D $ é o diâmetro interno da tubulação,
- $ \Delta H $ é a perda de carga,
- $ L $ é o comprimento da tubulação.
No nosso caso, o comprimento $ L $ e $ C $ são constantes, e a perda de carga $ \Delta H $ também se mantém constante.
Passo 3
Vamos chamar a vazão original da tubulação nova como $ Q_{novo} $ e a vazão da tubulação antiga envelhecida como $ Q_{antigo} = 0.64 Q_{original} $. Queremos que a soma das duas vazões seja igual à vazão original $ Q_{original} $:
Substituindo $ Q_{antigo} $:
Isso nos leva a:
Portanto, a nova tubulação deve fornecer 36% da vazão original.
Passo 4
Agora, vamos usar a relação da vazão com o diâmetro na equação de Hazen-Williams. Como $ \Delta H $ e $ L $ são constantes, podemos relacionar as vazões e diâmetros das tubulações:
Sabemos que $ Q_{novo} = 0.36 Q_{original} $, então:
Passo 5
Agora, vamos resolver para $ D_{novo} $:
Primeiro, tiramos a raiz 2.63 de ambos os lados:
Calculando $ 0.36^{\frac{1}{2.63}} $:
Então:
Resposta
Para recuperar a capacidade original do sistema, o diâmetro da nova tubulação a ser instalada deve ser aproximadamente 110 mm.