No interior de um recipiente, calor produzido por decaimento radiativo incide nas paredes do recipiente numa taxa de 7,5 mcW / m^2. A parede do recipiente é de aço ( k= 43 W /(mK) ) com espessura de 10 mm . Considerando-se que a temperatura é uniforme no interior do recipiente e que na superfície externa do recipiente, varepsilon=alpha=0,97, calcular a temperatura da superfície interna do recipiente. O recipiente está trafegando no espaço sideral onde T=2,73 K.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário
Estamos lidando com um problema de transferência de calor. No interior de um recipiente no espaço sideral, há produção de calor devido ao decaimento radiativo, que incide nas paredes do recipiente a uma taxa de 7,5 , mW/m^2. As paredes são feitas de aço com condutividade térmica k = 43 , W/(m·K) e têm uma espessura de 10 mm. A temperatura é uniforme dentro do recipiente, e na superfície externa, os coeficientes de emissividade ( varepsilon) e absorção ( alpha) são iguais a 0,97. O espaço sideral tem uma temperatura de T = 2,73 , K.
Para resolver este problema, vamos precisar entender:
  1. Condução de Calor: Usaremos a Lei de Fourier para condução térmica.
  2. Radiação Térmica: Utilizaremos a Lei de Stefan-Boltzmann para a emissão de radiação.
  3. Equilíbrio de Energia: Igualaremos a transferência de calor por condução à transferência por radiação para encontrar a temperatura interna.

Passo 2

Entendendo a Condução de Calor nas Paredes do Recipiente
Primeiro, vamos considerar como o calor se move através das paredes do recipiente. Para isso, usamos a Lei de Fourier para condução térmica, que é dada por:
q = k cdot (Tinterno - Texterno)d
Onde:
  • q é a taxa de transferência de calor por unidade de área ( W/m^2),
  • k é a condutividade térmica do material ( W/(m·K)),
  • Tinterno é a temperatura na superfície interna,
  • Texterno é a temperatura na superfície externa,
  • d é a espessura das paredes ( m).
Vamos identificar os valores que temos:
  • k = 43 , W/(m·K),
  • d = 10 , mm = 0,01 , m,
  • A taxa de calor fornecida é 7,5 , mW/m^2 = 7,5 times 10^-3 , W/m^2.

Passo 3

Entendendo a Radiação Térmica na Superfície Externa
Agora, consideramos como o calor é perdido para o espaço através da radiação térmica na superfície externa do recipiente. Usamos a Lei de Stefan-Boltzmann:
q = varepsilon cdot sigma cdot (Texterno^4 - Tespaço^4) ç
Onde:
  • varepsilon é a emissividade da superfície (adimensional),
  • sigma é a constante de Stefan-Boltzmann ( 5,67 times 10^-8 , W/(m^2·K^4)),
  • Texterno é a temperatura na superfície externa,
  • Tespaçoç é a temperatura do espaço sideral ( 2,73 , K).
Dado que varepsilon = alpha = 0,97, podemos usar esse valor na equação.

Passo 4

Igualando a Transferência de Calor por Condução à Transferência por Radiação
Para que o sistema esteja em equilíbrio, a taxa de calor que entra nas paredes pelo interior deve ser igual à taxa de calor que sai pelas paredes para o espaço. Portanto:
k cdot (Tinterno - Texterno)d = varepsilon cdot sigma cdot (Texterno^4 - Tespaço^4) ç
Nosso objetivo é encontrar Tinterno. Vamos reorganizar a equação para isolar Tinterno.

Passo 5

Isolando a Temperatura Interna Tinterno
Primeiro, substituímos os valores conhecidos na equação:
43 cdot (Tinterno - Texterno)0,01 = 0,97 cdot 5,67 times 10^-8 cdot (Texterno^4 - 2,73^4)
Simplificando a esquerda:
4300 cdot (Tinterno - Texterno) = 0,97 cdot 5,67 times 10^-8 cdot (Texterno^4 - 2,73^4)
Agora, precisamos de mais uma relação para resolver essa equação, já que temos duas incógnitas: Tinterno e Texterno. No entanto, como o calor fornecido é constante e igual a 7,5 times 10^-3 , W/m^2, podemos usar essa informação para substituir na equação.

Passo 6

Substituindo a Taxa de Calor e Resolvendo para Texterno
Sabemos que:
q = 7,5 times 10^-3 , W/m^2
Portanto:
4300 cdot (Tinterno - Texterno) = 7,5 times 10^-3
Isolando Tinterno - Texterno:
Tinterno - Texterno = 7,5 times 10^-34300 approx 1,744 times 10^-6 , K
Isso nos diz que a temperatura interna é ligeiramente maior que a externa.

Passo 7

Relacionando Texterno com a Radiação Térmica
Voltando à equação da radiação:
7,5 times 10^-3 = 0,97 cdot 5,67 times 10^-8 cdot (Texterno^4 - 2,73^4)
Podemos resolver essa equação para encontrar Texterno. Vamos primeiro calcular 2,73^4:
2,73^4 approx 55,35 , K^4
Substituindo:
7,5 times 10^-3 = 0,97 cdot 5,67 times 10^-8 cdot (Texterno^4 - 55,35)
Isolando Texterno^4:
Texterno^4 = 7,5 times 10^-30,97 cdot 5,67 times 10^-8 + 55,35
Calculando o primeiro termo:
7,5 times 10^-30,97 cdot 5,67 times 10^-8 approx 1,369 times 10^5 , K^4
Portanto:
Texterno^4 approx 1,369 times 10^5 + 55,35 approx 1,369 times 10^5 , K^4
Agora, tomando a raiz quarta:
Texterno approx (1,369 times 10^5)^1/4 approx 27,7 , K

Passo 8

Calculando a Temperatura Interna Tinterno
Agora que temos Texterno approx 27,7 , K, voltamos à relação:
Tinterno = Texterno + 1,744 times 10^-6 , K
Portanto:
Tinterno approx 27,7 , K + 0,000001744 , K approx 27,700001744 , K
Para fins práticos, podemos arredondar:
Tinterno approx 27,7 , K

Resposta

A temperatura da superfície interna do recipiente é aproximadamente 27,7 , K.

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