No interior de um recipiente, calor produzido por decaimento radiativo incide nas paredes do recipiente numa taxa de
. A parede do recipiente é de aço (
) com espessura de 10 mm . Considerando-se que a temperatura é uniforme no interior do recipiente e que na superfície externa do recipiente,
, calcular a temperatura da superfície interna do recipiente. O recipiente está trafegando no espaço sideral onde
.
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário
Estamos lidando com um problema de transferência de calor. No interior de um recipiente no espaço sideral, há produção de calor devido ao decaimento radiativo, que incide nas paredes do recipiente a uma taxa de
. As paredes são feitas de aço com condutividade térmica
e têm uma espessura de 10 mm. A temperatura é uniforme dentro do recipiente, e na superfície externa, os coeficientes de emissividade (
) e absorção (
) são iguais a 0,97. O espaço sideral tem uma temperatura de
.
Para resolver este problema, vamos precisar entender:
- Condução de Calor: Usaremos a Lei de Fourier para condução térmica.
- Radiação Térmica: Utilizaremos a Lei de Stefan-Boltzmann para a emissão de radiação.
- Equilíbrio de Energia: Igualaremos a transferência de calor por condução à transferência por radiação para encontrar a temperatura interna.
Passo 2
Entendendo a Condução de Calor nas Paredes do Recipiente
Primeiro, vamos considerar como o calor se move através das paredes do recipiente. Para isso, usamos a Lei de Fourier para condução térmica, que é dada por:
Onde:
-
é a taxa de transferência de calor por unidade de área ( ), -
é a condutividade térmica do material ( ), -
é a temperatura na superfície interna, -
é a temperatura na superfície externa, -
é a espessura das paredes ( ).
Vamos identificar os valores que temos:
-
, -
, - A taxa de calor fornecida é
.
Passo 3
Entendendo a Radiação Térmica na Superfície Externa
Agora, consideramos como o calor é perdido para o espaço através da radiação térmica na superfície externa do recipiente. Usamos a Lei de Stefan-Boltzmann:
Onde:
-
é a emissividade da superfície (adimensional), -
é a constante de Stefan-Boltzmann ( ), -
é a temperatura na superfície externa, -
é a temperatura do espaço sideral ( ).
Dado que
, podemos usar esse valor na equação.
Passo 4
Igualando a Transferência de Calor por Condução à Transferência por Radiação
Para que o sistema esteja em equilíbrio, a taxa de calor que entra nas paredes pelo interior deve ser igual à taxa de calor que sai pelas paredes para o espaço. Portanto:
Nosso objetivo é encontrar
. Vamos reorganizar a equação para isolar
.
Passo 5
Isolando a Temperatura Interna
Primeiro, substituímos os valores conhecidos na equação:
Simplificando a esquerda:
Agora, precisamos de mais uma relação para resolver essa equação, já que temos duas incógnitas:
e
. No entanto, como o calor fornecido é constante e igual a
, podemos usar essa informação para substituir na equação.
Passo 6
Substituindo a Taxa de Calor e Resolvendo para
Sabemos que:
Portanto:
Isolando
:
Isso nos diz que a temperatura interna é ligeiramente maior que a externa.
Passo 7
Relacionando
com a Radiação Térmica
Voltando à equação da radiação:
Podemos resolver essa equação para encontrar
. Vamos primeiro calcular
:
Substituindo:
Isolando
:
Calculando o primeiro termo:
Portanto:
Agora, tomando a raiz quarta:
Passo 8
Calculando a Temperatura Interna
Agora que temos
, voltamos à relação:
Portanto:
Para fins práticos, podemos arredondar:
Resposta
A temperatura da superfície interna do recipiente é aproximadamente
.