45- \int \frac{x^{2}+1}{x\left(x^{2}+1\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}+1}{x\,(x^{2}+1)}\,dx.
O conteúdo é integração de funções racionais; podemos usar frações parciais ou simplificação algébrica para identificar a forma mais simples do integrando.

Passo 2

Decompondo em frações parciais, suponha
\frac{x^{2}+1}{x(x^{2}+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^{2}+1}.
Multiplicando ambos os lados por x(x^{2}+1), obtemos
x^{2}+1 = A\,(x^{2}+1) + (Bx + C)\,x.

Passo 3

Comparando coeficientes de cada potência de x:
Em x^{2}:
1 = A + B,
em x:
0 = C,
e em termo constante:
1 = A.
Assim, A=1, B=0 e C=0. Logo
\frac{x^{2}+1}{x(x^{2}+1)} = \frac{1}{x}.

Passo 4

Agora basta integrar a forma simplificada:
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\ln\lvert x\rvert + C

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