Determine a derivada das funções a seguir:
f(x)=\log _{\frac{1}{2}}(x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
\displaystyle f(x)=\log_{\frac12}(x).
O conteúdo envolvido é a derivada de funções logarítmicas, aplicando a fórmula de mudança de base e a regra de derivada de \ln(x).

Passo 2

Usamos a mudança de base
\log_{\frac12}(x)\;=\;\frac{\ln(x)}{\ln\bigl(\tfrac12\bigr)}.
Como \ln\bigl(\tfrac12\bigr)=-\ln2, segue
f(x)=-\frac{1}{\ln2}\,\ln(x).

Passo 3

Derivando f(x)=-\tfrac{1}{\ln2}\ln(x), onde -\tfrac{1}{\ln2} é constante, temos
f'(x)=-\frac{1}{\ln2}\cdot\frac{d}{dx}[\ln(x)] =-\frac{1}{\ln2}\cdot\frac{1}{x} =-\frac{1}{x\,\ln2}.

Resposta

f'(x)=-\frac{1}{x\,\ln2}.

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