46 Um corpo de massa m=0,5 \mathrm{~kg} tem sua posição \vec{r}, em função do tempo t, dada por \vec{r}(t)=2 t \vec{i}+\left(3+5 t^{2}\right) \vec{j}, com r em metros e t em segundos. A força, em newtons, que age nesse corpo é
a) t \vec{i}+0,5\left(3+5 t^{2}\right) \vec{j}
b) 5 \overrightarrow{\mathrm{j}}
c) 2 \vec{i}+5 t \vec{j}
d) 2 \vec{i}+10 t \vec{j}
e) \vec{i}+5 t \vec{j}

Passo 1

O enunciado nos dá a posição de um corpo de massa m=0,5\:\mathrm{kg} em função do tempo:
\vec{r}(t)=2\,t\,\vec{i}+\bigl(3+5\,t^{2}\bigr)\,\vec{j}.
O conteúdo aqui é cinemática vetorial e a Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante é \vec{F}=m\,\vec{a}. Para encontrar \vec{F}, precisamos derivar \vec{r}(t) duas vezes para ter a aceleração \vec{a}(t).

Passo 2

Calculamos a velocidade \vec{v}(t) como a derivada de \vec{r}(t):
\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl(2\,t\,\vec{i}\bigr) +\frac{d}{dt}\bigl(3+5\,t^{2}\bigr)\,\vec{j} =2\,\vec{i}+10\,t\,\vec{j}.

Passo 3

Em seguida, a aceleração \vec{a}(t) é a derivada de \vec{v}(t):
\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl(2\,\vec{i}\bigr) +\frac{d}{dt}\bigl(10\,t\,\vec{j}\bigr) =0\,\vec{i}+10\,\vec{j} =10\,\vec{j}.

Passo 4

Aplicando a Segunda Lei de Newton \vec{F}=m\,\vec{a}, com m=0,5\:\mathrm{kg} e \vec{a}(t)=10\,\vec{j}, obtemos
\vec{F}(t)=0,5\times10\,\vec{j}=5\,\vec{j}.

Resposta

b) 5\,\vec{j}

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